Cuando nos imaginamos que un subconjunto del espacio euclídeo está formado por varios trozos, y por tanto no es conexo, muchas veces es porque podemos "separar" o "distinguir" dichos trozos. El ejemplo que se hizo en clase de que el conjunto (de R^3) formado por dos personas es no conexo es un botón de muestra.
Otro ejemplo es el siguiente. En el espacio R^3, sea X=X_1\cup X_2, donde X_1 es la bola de radio 1 centrada en el punto (0,4,0) y X_2 es la recta x=0,y=-2. Tomamos el plano P de ecuación y=1. Entonces P 'separa' X_1 de X_2, además, en dos abiertos. Concretamente, si P^+=\{y>1\} y P^{-}=\{y<1\}, estos semiespacios son abiertos de R^3, al ser cada uno de ellos imágenes inversas, mediante aplicaciones continuas, de abiertos. Además X_1=P^{+}\cap X y X_2=P^{-}\cap X, probando que X no es conexo.
El siguiente ejemplo nos dice que para separar uno puede usar 'cosas' que no sean planos. Así, en el plano R^2 tomamos X=C_1\cup C_2, donde C_1 y C_2 son circunferencias centradas en el origen de radios 1 y 2, respectivamente. La aplicación continua de R^2 en R dada por f(x,y)=x^2+y^2 nos dice que A=\{(x,y);x^2+y^2<9/4\} y B=\{(x,y);x^2+y^2>9/4\} son abiertos de R^2 y que C_1=X\cap A y C_2=X\cap B, probando que X no es conexo.
