Dado un conjunto X, p\in X un elemento fijo y \tau la topología del punto incluido para dicho punto, sabemos que (X,\tau) es un espacio arcoconexo. Se quiere mostrar que dado el punto p y otro q, hay muchos arcos que los une. El que se dio en clase fue \alpha(t)=p si t\in [0,1/2) y \alpha(t)=q si t\geq 1/2. Pero otro arco puede ser el siguiente: \beta(t)=p si t\in [0,1/4) y \beta(t)=q si t\in [1/4,1]. Son arcos diferentes, aunque la imagen es la misma.
Tomamos ahora X=\mathbb{R}, p=0. Con la misma topología del punto incluido, el segmento que une p con otro punto q NO es un arco, porque no es continua. Recordamos que el segmento está dado por \alpha(t)=(1-t)p+tq=tq. Si tomamos O=\{0\}, entonces alpha^{-1}(O)=\{0\} que no es abierto en [0,1].
Tomamos ahora X=\mathbb{R}, p=0. Con la misma topología del punto incluido, el segmento que une p con otro punto q NO es un arco, porque no es continua. Recordamos que el segmento está dado por \alpha(t)=(1-t)p+tq=tq. Si tomamos O=\{0\}, entonces alpha^{-1}(O)=\{0\} que no es abierto en [0,1].
