Sobre la aplicación proyección

Consideramos en un espacio topológico X un subconjunto suyo A y definimos la relación de equivalencia R que identifica todos los puntos de A. Hemos visto hoy en clase que si A es abierto (resp. cerrado), la aplicación proyección $p:X\rightarrow X/R$ es abierta (resp. cerrada). Para ello usamos que la saturación $R(O)$ de un conjunto $O$ es $O$ si $O\cap A=\emptyset$ y es $O\cup A$ si $O\cap A\not=\emptyset$.

La pregunta que dejo es: dar un ejemplo (si lo hubiere) de un espacio X, una conjunto A que no sea abierto pero que la aplicación proyección sí es abierta. Lo mismo, pero cambiando la palabra abierto por cerrado.

Un cociente no compacto de R

Tomamos en R la relación de equivalencia R que identifica todos los números enteros Z. Se puede probar que el conjunto cociente R/R no es compacto

Sin embargo, podemos pensar el cociente como si cogiéramos la recta real y fuéramos pegando todos los números enteros.

En la figura, los números enteros se pegan en el punto p, y cada segmento entre un entero n y el siguiente n+1, se dobla como si fuera una circunferencia. Podemos tomar estos círculos en un cuadrado para que el conjunto total sea acotado, y como es cerrado, entonces es compacto.

Está claro que por compacidad, R/R no puede ser homeomorfo a dicha figura, entonces ¿en qué falla nuestra intuición?

Cociente de un disco

Hemos visto en clase que si $D=\{(x,y);x^2+y^2\leq 1\}$ es el disco unidad, es posible, identificando puntos opuesto de $S^1$, probar que el plano proyectivo $RP^2$ es homeomorfo a un cociente del disco $D$.

Esta entrada deja como ejercicio que si cambiamos un poco la relación de equivalencia, a qué sería homeomorfo el disco. La relación es la que identifica los puntos de $S^1$ que tienen la misma abcisa (los demás puntos, sólo están relacionados consigo mismos).

¿Otra "circunferencia"?

Tenemos el conocido resultado que si en $\mathbb{R}$ se define la relación $xRy$ si $x-y\in\mathbb{Z}$, entonces el cociente es homeomorfo a $\mathbb{S^1}$.

¿Qué pasa si cambiamos la topología en $\mathbb{R}$ por, por ejemplo, la topología del punto incluido para $p=0$? ¿Seríamos capaces de "ver" el espacio topológico cociente?

Para considerar otro problema parecido, podríamos empezar con el intervalo $X=[0,1]$, identificando el $0$ y el $1$. Tomamos en $X$ la topología del punto incluido para $p=0$. ¿Podríamos calcular cuál es el cociente $X/R$?

Cocientes de cuadrados

Hemos visto en clase que si tomamos $X=[0,1]\times [0,1]$ con la relación de equivalencia que identifica los puntos de $\{0\}\times [0,1]$ con los de $\{1\}\times [0,1]$ con la misma ordenada, entonces el cociente es homeomorfo al cilindro $S^1\times [0,1]$. La demostración ha sido sencilla por el hecho de que $X$ es compacto.

Esa misma relación, pero en $Y=[0,1]\times (0,1)$ da como cociente un espacio homeomorfo al cilindro abierto $S^1\times (0,1)$ (ahora $Y$ no es compacto).

Me pregunto si sería posible probar ese homeomorfismo usando que $X/R\cong S^1\times [0,1]$ y que $Y\subset X.