Descubriendo puntos donde falla la continuidad

En las entradas anteriores, hemos usado el siguiente resultado:

Si $f:(X,\tau)\rightarrow (Y,\tau')$ es una aplicación, y $O'\in\tau'$ satisface $f^{-1}(O')\not\in\tau$, entonces $f$ no es continua en algún punto de $f^{-1}(O')$.

Efectivamente, si $f^{-1}(O')$ no es un abierto es porque existe $x\in f^{-1}(O')$ que no es interior a $f^{-1}(O')$. Veamos que $f$ no es continua en $x$.  Como $O'$ es un entorno de $f(x)$, si $f$ fuera continua en $x$, existiría un abierto $O\in\tau$, con $x\in O$, tal que $f(O)\subset O'$. Pero es claro entonces que $$x\in O\subset f^{-1}(f(O))\subset f^{-1}(O')$$ probando que $x\in int(f^{-1}(O'))$: contradicción.

Además hemos probado algo más: en los puntos $f^{-1}(O')-int(f^{-1}(O'))$, la aplicación no es continua.

Continuidad de una función a trozos (III)

Seguimos con las entradas anteriores. Tomamos la aplicación inicial
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&x \geq  0\\ -1 &x <  0\end{array}\right.$$ y tomamos la topología usual tanto en el dominio como el codominio. Ya sabemos de hace años que esta aplicación no es continua en $x=0$: por ejemplo, se puede ver tomando sucesiones y usando la caracterización de que $f$ es continua en $x$ si para toda $\{x_n\}\rightarrow x$, entonces $\{f(x_n)\}\rightarrow f(x)$.
La idea de esta entrada es probar que $f$ es continua en todos los puntos excepto en $x=0$, usando los nuevos conceptos topológicos que tenemos. Así, y usando bases de abiertos, concretamente, la base $\beta=\{(a,b): a < b\}$, es evidente que $f^{-1}((0,2))=[0,\infty)$ y que no es abierto en la topología usual. Sin embargo, si tomamos un intervalo de la forma $(a,b)$ que no contenga a $1$, entonces la imagen inversa es vacía o es $(-\infty,0)$, que sí es abierto. Pero ¿en qué puntos no es continua?

En principio, para los puntos cuya imagen es $-1$, la aplicación es continua (pensar porqué).

Tomamos como base de entornos, los intervalos abiertos centrados en el punto, es decir, $\beta_x=\{(x-r,x+r): r > 0\}$. Veamos que $f$ no es continua en $x=0$. Tomando $V'=(1/2,2)\in\beta_{f(0)=1}$, no hay $r>0$ tal que $f((-r,r))\subset V'$, pues $f((-r,r))=\{-1,1\}$.
Veamos que es continua si $x>0$. Dado $r > 0$, tomamos $s=x-(x/2)$, que es positivo porque $x$ lo es. Entonces $$f((x-s,x+s))=\{f(x)\}=\{1\}\subset (1-r,1+r),$$ probando la continuidad en $x$.

Continuidad de una función a trozos (II)

Seguimos con la entrada anterior, y cambiamos un poquito la aplicación. Ahora se define $f$ como
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&x > 0\\ -1 &x \leq  0\end{array}\right.$$ y tomamos de nuevo la topología de Sorgenfrey. Del mismo modo, tenemos ahora: $$f^{-1}([a,b))=\left\{\begin{array}{ll}\emptyset&\mbox{si $0,1\not\in [a,b)$}\\ (0,\infty)&\mbox{si $1\in[a,b)$ y $-1\not\in [a,b)$}\\ (-\infty,0]&\mbox{si $-1\in[a,b)$ y $1\not\in [a,b)$}\\ {\mathbb R}& \mbox{si $-1,1\in [a,b)$} \end{array}\right.$$ Como $(-\infty,0]$ no es un abierto (pensar porqué), la aplicación no es continua. La pregunta es ¿y en qué puntos no es continua? De nuevo, las mismas puntualizaciones hechas antes son válidas ahora. Para 'cazar' los puntos donde deja de ser continua, hay que tomar los puntos cuya imagen está en $(-\infty,0]$, es decir, en $x\leq 0$. O dicho de otro modo, $f$ es continua en todos los puntos del intervalo $(0,\infty)$ (razonar).

Ya que ahora estamos estudiando la continuidad punto a punto, tomamos la caracterización por bases de entornos, recordando que ahora $\beta_x=\{[x,b): b > x\}$.
Veamos que $f$ no es continua en $x=0$. Como $f(0)=-1$. Tomando $[-1,0)\in{\beta}_{f(0)}$, no existe $b > 0$ tal que $f([0,b))\subset [-1,0)$, pues $f([0,b))=\{-1,1\}$.
Veamos que $f$ es continua si $x\in (-\infty,0)$. Como $f(x)=-1$, sea $[-1,c)$ arbitrario. Tomando  $b=0$, entonces  $f([x,b))=\{-1\}\subset [-1,c)$, luego probado la continuidad en $x$.

Continuidad de una función a trozos

Consideramos la función $f:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$ definida por $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&x\geq 0\\ 0 &x < 0\end{array}\right.$$ Tomamos  en ${\mathbb R}$, tanto en el dominio como en el codominio, la topología que tiene por base $\beta=\{[a,b]: a < b\}$, es decir, la topología de Sorgenfrey.
En principio, no sabemos si es continua en todos los puntos. Para aplicaciones 'sencillas' como ésta, lo mejor es empezar a estudiar la continuidad global, y si no fuera continua, entonces estudiar punto a punto.  Antes de proseguir, tres puntualizaciones.

1. Como venimos de primero con la topología usual, inmediatamente uno piensa algo parecido a lo siguiente: "el punto problemático es el punto $x=0$, porque hay un salto, y en los demás puntos, la aplicación es continua". Error. La topología no es la usual, y por tanto, el punto $x=0$ no es ni mejor ni peor que cualquier otro punto. Además, lo de 'salto' es si estamos con la topología usual.
2. Como tenemos una base de la topología, usamos la caracterización de continuidad mediante bases.
3. Una parte de este tipo de ejercicios, a veces difícil, es hallar imágenes inversas. Habitualmente, durante los estudios de matemáticas, no se han hecho muchos ejercicios (¿ninguno?) de hallar imágenes inversas, o lo que es parecido, de estudiar la sobreyectividad de una aplicación.

Lo fácil de este ejercicio es que la aplicación es constante a trozos, y por tanto, es muy sencillo hallar la imagen inversa. Sea un intervalo de la forma $[a,b)$. Entonces es inmediato:
$$f^{-1}([a,b))=\left\{\begin{array}{ll}\emptyset&\mbox{si $0,1\not\in [a,b)$}\\ [0,\infty)&\mbox{si $1\in[a,b)$ y $0\not\in [a,b)$}\\ (-\infty,0)&\mbox{si $0\in[a,b)$ y $1\not\in [a,b)$}\\ {\mathbb R}& \mbox{si $0,1\in [a,b)$} \end{array}\right.$$ Ya que los intervalos $[0,\infty), (-\infty,0)$ son abiertos en la topología $\tau(\beta)$, la aplicación $f$ es continua.