Compactificación por un punto que es T_1

Consideramos un espacio topológico X que es T_1 y no es finito. Se puede construir una compactificación por un punto que sea también T_1. La forma es parecida a la de Alexandroff.

Sea X^*=X\cup\{\infty\} y la topología \tau^* es, aparte de \tau, aquellos conjuntos O tales que su complementario es un conjunto finito de X.

De nuevo, se puede probar que \tau^* es una topología. Para probar que (X*,i) es una compactificación de X, donde i es la aplicación inclusión, se sigue los mismos pasos que en el caso de Alexandroff. Por ejemplo, X* es compacto, ya que dado un recubrimiento suyo, el abierto que contiene a \infty recubre todo X* excepto un conjunto finito de puntos. Cada uno de éstos, están contenidos en un abierto, y hemos conseguido el recubrimiento finito.

Para probar que X* es T_1, todo punto tiene que ser cerrado. Para los puntos de X, es evidente, ya que su complementario (en X*) es un abierto de los "nuevos". Si el punto es \infty, su complementario es X, que es abierto.