No hay, en principio, relación entre compacidad y el cardinal del espacio, o el cardinal de cada uno de los abiertos. Sólo el hecho (trivial) de que si el espacio es finito, entonces el espacio es compacto (en verdad, cuando la topología es finita).
Mostramos ejemplos de espacios topológicos, todos ellos teniendo el mismo conjunto, a saber, el conjunto de los números naturales N. Este conjunto es infinito, pero con el cardinal infinito más pequeño (ser numerable).
Con la topología discreta, hay muchos abiertos que son finitos (los conjuntos finitos). Hay recubrimientos por abiertos infinitos, por ejemplo, por conjuntos A_n, con A_n el conjunto de múltiplos de n. Este espacio no es compacto.
Con la topología cofinita, todos los abiertos son conjuntos infinitos. La clave aquí es que cualquier abierto es casi todo N, y el casi significa, salvo un conjunto finito. Por tanto, este espacio es compacto.
Con la topología del punto excluido (con p=1), hay infinitos abiertos (cualquier conjunto que no contenga a p). Por tanto hay finitos e infinitos. La clave aquí es que dado un recubrimiento, el abierto que contiene a p, es todo el espacio. Es decir, en todo recubrimiento abierto, forzosamente está todo N. Por tanto, este espacio es compacto.
Con la topología T dada por los conjuntos
A_n=\{n,n+1,n+2,...\}. Todos los abiertos (que hay infinitos) son infinitos. Aquí pasa como con el ejemplo anterior, que dado un recubrimiento, a la fuerza tiene que estar el conjunto A_1. Este espacio es compacto.
N con la topología T dada por los conjuntos An={1,2,...,n} NO es compacto, ya que del recubrimiento por abiertos formado por la unión en n€N de An no se puede sacar ninguno finito, porque si hay uno finito significaría que n está acotado, ya que una unión finita de An da un conjunto Am, que tiene como máximo m€N.
ResponderEliminarmuy bien
ResponderEliminarCon la topología del punto incluido (p), hay infinitos abiertos, cualquier conjunto que contenga a p.Por tanto hay conjuntos finitos e infinitos (simpre que el espacio no sea finito, caso trivial). Pero podemos tomar como recubrimiento de X, la unión de todos los abiertos de la forma {x,p}, t.q x pertenece a X.
ResponderEliminarComo en X hay infinitos elementos, si tomamos un subrecubrimiento finito, no obtenemos todo X.Por tanto, no es compacto
Sea (X=[-1,1], T = {OcX ; 0 no está en O} U {OcX ; (-1,1)cO}.Los abiertos de esta topología son infinitos, pero si nos fijamos en los abiertos del segundo tipo,de éstos si hay un número finito.Para que recubra todo el espacio, tiene que haber un abierto(O1) que contenga al cero, por tanto de este segundo tipo. X-O1 es finito, por tanto podemos recubrir por un numero finito de abiertos.
ResponderEliminarEl espacio es compacto