A continuación... ejemplos para todos los gustos.
- En la topología de los complementos finitos cualquier conjunto es compacto. Este espacio, es por tanto, COMPACTO y LOCALMENTE COMPACTO.
- El espacio euclídeo R^n NO es compacto pero SI es localmente compacto: basta tomar las bolas cerradas centradas en un punto.
- El conjunto de los números racionales NO es compacto y NO es localmente compacto: ningún entorno es cerrado.
- Consideramos
X=Q\cup\{\infty\}con la topología\tau_u \cup \{X\}.Este espacio SI es compacto pues dado un recubrimiento, el abierto que contiene a\inftyes X, y por tanto, recubre a todo el espacio. Este espacio NO es localmente compacto, pues la topología inducida en Q es la topología usual, que no es localmente compacto.
otro ejemplo de espacio topológico que no es compacto ni localmentr compacto es la recta de sorgenfrey:
ResponderEliminarno es compacta: R= U [-n,n) tq n es natural, pero un subrecubrimiento finito nos da un subconjunto del tipo [ , ) distinto de R
no es localmente compacta: tomamos como base de entornos Bx = {[x,y); y > x}, estos entornos no son compacto ya que podemos escribir
[x,y)=U[x,y-(1/n)) y no podemos extraer subrecubrimiento finito. Sea U un entorno de x que suponemos compacto, y sea y nº real t.q. [x,y) c U, como [x,y)es un conjunto cerrado incluido en un compacto, es compacto, lo cual es una contradición
Quién es n0 real
EliminarOtro ejemplo de espacio que no es compacto, pero si es localmente compacto es X con la topología discreta (siendo X no finito):
ResponderEliminarno compacto: X=U{x} tq x pertenece a X. No podemos obtener subrecubrimiento finito.
localmente compacto: base de entornos compacta para cada punto Bx={{x}}
Si X es un espacio topológico compacto, entonces necesariamente también es localmente compacto: basta tomar, para un x elemento de X, a X como compacto y como abierto que contiene a x.
ResponderEliminarPor lo tanto, ango anda raro con el último ejemplo.
Porque los racionales no son localmente compactos???
ResponderEliminarNingun entorno en Q es compacto. Si U lo fuera de x, entonces existe $x\in (a,b)\cap Q\subset U$. Tomando adherencias en R, como U es cerrado y la adherencia de Q es R, entonces $[a,b]\subset U$, lo cual es falso, pues U está en Q.
ResponderEliminarPero U es cerrado para la topología de Q. Al tomar la adherencia en R, lo que te queda es un cerrado en R, no necesariamente U
ResponderEliminarCierto Enrique, un conjunto cerrado en Q no tiene porqué selo en R. Pero el razonamiento aquí es que, por la transitividad de las topologías relativas, decir que U es compacto en Q es lo mismo que decir que es compacto en R. Por tanto, U es cerrado (y acotado) en R.
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