Se caracterizó un espacio compacto como aquél que satisface la siguiente propiedad: para cada familia de cerrados con intersección vacía, existe una subfamilia cuya intersección también es vacía. Ya se propuso en clase usar esta caracterización de compacidad para saber si un espacio es o no compacto. Propongo que se haga con espacios conocidos (o no). Empiezo yo.
- La topología discreta: los cerrados son los subconjuntos. Entonces para cada x del conjunto, sea el cerrado
F_x=X-\{x\}.Es evidente que la intersección de todos los F_x es vacía. Si el espacio fuera compacto, habría un número finito de F's con intersección vacía, es decir,\cap_{i=1,\ldots,n}F_{x_i}=\emptyset.Al tomar complementarios,X=\{x_1,\ldots,x_n\},es decir, X debe ser finito. - La topología de los complementos finitos. Los conjuntos cerrados son los conjuntos finitos. Sea F_i una familia de cerrados con intersección vacía, y sea
F=\{x_1,\ldots,x_n\}uno cualquiera de ellos. Entonces x_1 no está en algún F_i: llamamosF^1a dicho cerrado. Y así lo vamos haciendo para cada x_i. EntoncesF\cap F^1\cap\ldots\cap F^n=\emptyset.
Continuad...
El caso en el que tenemos un espacio con la topología trivial: los únicos cerrados son el vacío y el total.La intersección de ellos es el vacío, pero es la intersección de un conjunto finito, ya que solo hay dos cerrados
ResponderEliminarLa topología a derechas.
ResponderEliminarPara cada x tomamos el cerrado (-infinito,x); y es evidente que la intersección de todos estos cerrados es vacía. Pero si tomamos una intersección finita de cerrados de este tipo, vamos a obtener otro del tipo (-infinito,min{xi;i perteneciente I}), que no es vacío.POr tanto, si no podemos encontrar un numero finito de cerrados de este tipo con intersección vacía, el espacio no es compacto.
(R, topologia de Sorgenfrey):
ResponderEliminarOcurre lo mismo que en el caso anterior:
Si tomamos para cada par (a,b), el cerrado (-infinito,a)U([b,+infinito), la intersección de tos estos cerrados es vacía, pero si tomamos cualquier intersección finita de cerrados de este tipo, obtenemos otro de la forma (-infinito,min{ai;i variando en el conjunto de indices I}) U (max{bi; i variando en el conjunto de índices I},+infinito), que es claramente no vacío.Como esto sucede para cualquier intersección finita, el espacio no es compacto.
Tenemos otro ejemplo con la topología del punto incluído:
ResponderEliminar(R,Topología del punto incluido):
Los cerrados de dicha topología son subconjuntos de R que no contienen a {p} y el total (R). Ahora, si tomamos cualquier familia de cerrados cuya intersección es vacía, siempre podremos encontrar una subfamilia suya finita la cual también va a tener intersección vacía.
Por tanto dicho espacio es compacto.
También podemos hacer el ejemplo del punto excluído:
ResponderEliminar(R,topología punto excluído):
Los cerrados ahora serán subconjuntos de R que contengan a {p}, unión el vacío. La única familia de cerrados cuya intersección es vacía tiene que contener al vacío y en este caso, podemos tomar una subfamilia finita cuya intersección también sea vacía (Podríamos tomar el vacío y un numero finito de cerrados cualesquiera). Entonces, vemos que es compacto.
Si en el caso que ha planteado Azahara anteriormente, es decir, (R,topología de Sorgrenfrey). Si estudiamos este caso para el intervalo [0,1) podemos ver que no es compacto puesto que {[0,1-1/n)] con n perteneciente a los naturales, es un recubrimiento abierto de [0,1) del que no se puede extraer un subrecubrimiento finito.
ResponderEliminarTambién podríamos plantear, igual que en el caso anterior, pero para el intervalo [0,1].
ResponderEliminarTampoco puede ser compacto, pues si lo fuera, cualquier subconjunto suyo cerrado sería compacto y, como [0,1) es también cerrado en esta topología, sería compacto cosa que, no ocurre como se muestra anteriormente.