lunes, 19 de abril de 2010

Compacidad y magia añadiendo un punto

En clase hemos considerado este ejemplo. Sea $(X,T)$ un espacio topológico cualquiera y sea p un objeto que no pertenece a $X$. Consideramos ahora $X^*=X\cup \{p\}$ y la topología $T^*$ es $T$ junto con $X^*$. Dos hechos importantes:
1. La topología inducida en $X$ es la que ya había, es decir, $T$.
2. El espacio $(X^*,T^*)$ es compacto.
Con este ejemplo mostramos que añadiendo un único punto a un espacio (pensemos que no fuera compacto) el nuevo espacio es compacto con el hecho IMPORTANTE que la topología inducida en X NO ha cambiado. Esto quiere decir que siempre podemos "colocar" un espacio en otro que sí es compacto añadiendo sólo un punto. La pena en este ejemplo es que el espacio no es Hausdorff, cosa que siempre aspiramos (por la unicidad de límites en sucesiones convergentes, por ejemplo).
El otro ejemplo era el de la anterior entrada. En este caso, el espacio original, a saber, $[0,1]$, ya era compacto. Sin embargo, el nuevo espacio, el que se ha formado añadiendo un nuevo punto es compacto y la topología inducida en $[0,1]$ es la que ya había (en este caso, la topología usual).

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