Se puede usar el concepto de saturación

Con ello me refiero que todo concepto topológico en el espacio cociente se puede escribir en términos de conjuntos saturados, o de saturación. A veces es mejor (o peor) usarlo para probar ciertos resultados. Voy a poner un ejemplo sencillo de cómo se usa.

La compacidad de un cociente se puede expresar en términos de conjuntos saturados. Exactamente, un espacio cociente X/R es compacto si de todo recubrimiento por abiertos saturados de X, existe un subrecubrimiento finito. Recordar que si X es compacto, entonces X/R también lo es, pero hay espacio cocientes que son compactos, si serlo X. El ejemplo que dijimos en clase fue el siguiente.

Sea X=R con la relación $xRy$ si su diferencia es un número entero. Veamos que el cociente X/R es compacto usando el concepto de saturado. Sea $\{O_i;i\in I\}$ una familia de abiertos saturados de R y que también sea un recubrimiento de R. En particular, es un recubrimiento del intervalo [0,1]. Como es compacto, existe un recubrimiento finito: $[0,1]\subset O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}$. Ahora usamos los dos siguientes hechos sobre la saturación R[A] de un conjunto A:

1. Si $A\subset B$ entonces $R[A]\subset R[B]$.

2.$R[A\cup B]= R[A]\cup R[B]$.

En el caso anterior, R[0,1]=R. Por tanto, usando las dos propiedades anteriores, se tiene $R\subset R[ O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}]=R[O_{i_1}]\cup\ldots\cup R[O_{i_n}]=O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}$, acabando la demostración.

Ligaduras, dimensiones y cocientes

Quiero hacer la siguiente observación sobre algunos espacios cocientes que ya hemos estudiado. La idea es que cuando se hace cociente de $R^n$ con una relación de equivalencia que viene dada por una "ecuación", parece que el espacio cociente tiene una "dimensión" que es n-(ligaduras). Me explico con los siguientes ejemplos (la palabra 'dimensión' la uso sin dar una definición, pero intuitivamente sabemos más o menos qué significa):

1. En R, la relación $x_1-x_2 \in Z$ da como cociente $S^1$. Aquí $R$ tiene dimensión 1, y $Z$ tiene dimensión 0, al ser un espacio discreto. Y $S^1$ tiene dimensión 1 al ser una curva. Aquí sería $1-0=1$.

2. En $R^2$ la relación $(x_1,y_1)R(x_2,y_2 )$ si $x_1-x_2 \in Z, y_1-y_2\in Z$. El cociente es un toro, que al ser una superficie tiene dimensión 2. Por otro lado $ZxZ$ es un conjunto discreto, luego tiene dimensión cero. Aquí sí funciona 2-0=2.
3. En $R^2$ se define la relación $(x_1,y_1)R(x_2,y_2 )$ si $x_1=x_2$. El espacio cociente es $R.$ Como la ligadura $x=x'$ es una recta en $R^2$, sería dimensión 1. Por tanto vale de nuevo la relación 2-1=1.

3. En $R^3$, se toma $pRq$ si $p=q$. Se probó que el espacio cociente es $[0,\infty)$. La ligadura $p=q$ define una superficie, por tanto, sería dimensión 2. De nuevo funciona la "fórmula": $3-2=1$.

4. En $R^2$, se considera $(x_1,y_1)R(x_2,y_2 )$ si $x_1^2-y_1={x_2}^2-y_2$. Se vio que el cociente es $R$. La ligadura define una parábola, que tiene dimensión 1, al ser una curva. Por tanto, de nuevo sigue siendo cierta la "fórmula": 2-1=1.

¿Qué opináis? Podéis seguir poniendo ejemplos.

Dibujos de planos proyectivos

Ya he afirmado hoy que no es posible encontrar un objeto en el espacio euclídeo de dimensión R^3 que sea homeomorfo al plano proyectivo. Se dice que el plano proyectivo no se puede embeber en el espacio, es decir, no existe una aplicación $\phi:RP^2\rightarrow R^3$ que sea un embebimiento: $\phi:RP^2\rightarrow \phi(RP^2)$ es un homeomorfismo. El "objeto" de R^3 sería $\phi(RP^2)$.

Sin embargo, y como pasaba con la botella de Klein, existen conjuntos que son "casi" el plano proyectivo. Se dice entonces que el plano proyectivo está inmerso en $R^3$. Dije también que en internet podéis encontrar muchos dibujos de esos conjuntos. Os pongo algunos.

También os recomiendo las siguientes páginas webs:
http://ochoa.mat.ucm.es/~jesusr/expogp/topplan.html
http://mathworld.wolfram.com/BoySurface.html

Dibujo de la banda de Möbius

Una parametrización de la banda Möbius la podéis encontrar en http://mathworld.wolfram.com/MoebiusStrip.html Si la anchura de la banda es w y el radio donde gira el segmento de anchura w es R, entonces la parametrización es

$x=(R+s \cos{(\frac{t}{2})})\cos{(t)}$

$y=(R+s \cos{(\frac{t}{2})})\sin{(t)}$

$z=s\sin{(\frac{t}{2})}$

Aquí $s\in [-w,w]$ y $t\in [0,2\pi]$.

Os animo que lo dibujéis con el Mathematica. La superficie es la siguiente:

También dije que en el libro de M. P. do Carmo "Differential Geometry of Curves and Surfaces", en las páginas 106-107, aparece explicado porqué es esa parametrización: aquí w=1 y R=2. También se explica porqué no es orientable, aunque esto es más complicado de formalizarlo matemáticamente, ahora en 2º de Matemáticas.

En el curso pasado y en este blog de topología, había entradas sobre la banda de Möbius.

Caso especial de la compactificación de Alexandrov

Sabemos que todo espacio admite una compactificación por un punto. Concretamente, si $(X,\tau)$ es el espacio topológico, definimos un nuevo espacio $(X^*,\tau^*)$ con $X^*=X\cup\{p\}$, donde $p$ es un objeto que no está en X y $\tau^*=\tau\cup\{X^*\}$. Tomamos como embebimiento de X en $X^*$ la inclusión.

Por otro lado, dado un espacio no compacto, la compactificación de Alexandrov es la topología definida en $X^*$ cuyos abiertos son, además de los de X, los complementarios en $X^*$ de conjuntos cerrados y compactos de X.

A veces, ambas compactificaciones ¡coinciden! Son los casos en los que el único conjunto cerrado de X es el conjunto vacío. Por tanto, de los nuevos abiertos en $X^*$, sólo hay uno: el complementario del vacío, que es $X^*$, obteniendo la topología $\tau^*$. Ejemplos han salido en clase:

1. Los números reales con la topología a derechas. Los números naturales con la topología que tiene por abiertos $A_n=\{1,\ldots,n\}$.
2. El intervalo abierto $(0,1)$ y los abiertos son los conjuntos de la forma $A_n=(0,1-\frac{1}{n})$.

A veces, un punto determina la compacidad

A raíz del examen de ayer, voy a escribir un tipo de espacios topológicos que han salido varias veces, pero ahora vamos a poner el "teorema". Son aquéllos en los que un punto nos dice que el espacio ya es compacto. Concretamente, en un espacio topológico en el que existe un punto $p$ de forma que el único entorno de dicho punto es el propio espacio, entonces el espacio es compacto. Esto es evidente, pues dado un recubrimiento por abiertos, habrá un abierto que contenga a dicho punto $p$. Pero el único abierto que lo contiene es todo el espacio, y por tanto éste nos da el subrecubrimiento finito.

Ejemplos de espacios topológicos con esta propiedad P son los siguientes:

• El espacio topológico trivial: todo punto satisface la propiedad P.
• La topología del punto excluido: el punto que se excluye satisface P.
• En el conjunto de los números naturales con la topología que tiene por abiertos los conjuntos A_n=\{n,n+1,...\}. El punto es $p=1$.
• En el intervalo $X=[0,1]$ con la topología cuyos abiertos son, aparte de los triviales, los conjuntos de la forma, $[0,a)$. El punto es $p=1$.