respectivamente, por
\beta_1=\{(a,\infty);a\in R\}.
\beta_2=\{[a,\infty);A\in R\}.
La pregunta que hacemos es sobre los homeomorfismos (si hay) de (R,\tau_1) en (R,\tau_2). Si no, por aplicaciones biyectivas y continuas de un espacio en otro.
Pongo un ejemplo. La aplicación f(x)=x+1 es biyectiva, pero no es continua, porque
f^{-1}([0,\infty))=[-1,\infty) y [-1,\infty)\not\in \tau_1.
Sin embargo, f^{-1} sí es continua.
\beta_1=\{(a,\infty);a\in R\}.
\beta_2=\{[a,\infty);A\in R\}.
La pregunta que hacemos es sobre los homeomorfismos (si hay) de (R,\tau_1) en (R,\tau_2). Si no, por aplicaciones biyectivas y continuas de un espacio en otro.
Pongo un ejemplo. La aplicación f(x)=x+1 es biyectiva, pero no es continua, porque
f^{-1}([0,\infty))=[-1,\infty) y [-1,\infty)\not\in \tau_1.
Sin embargo, f^{-1} sí es continua.
En general, podemos ver que todo elemento B1 perteneciente a beta1, se encuentra en la segunda.
ResponderEliminarPara ello, consideramos para cada "a" de "R" la sucesión definida como: An={a+1/n} Esta sucesión converge a "a" y a(R,tau1)
Para todo O perteneciente a tau1 (f-1)-1(O)=f(O)perteneciente a tau2.
La imagen inversa de todo abierto de tau1 es abierto de tau2. Con esto concluimos que f-1 es continua
En general, podemos ver que \forall B_{1} \in \beta_{1}, B_{1}\in\beta_{2}
ResponderEliminarPara ello tomamos \forall a\in\mathbb{R}\ {a_{n} }, la sucesión definida como a_{n}=a+\frac{1}{n} . Cada [a_{n},\infty)\in\beta_{2}.
Entonces tenemos que (a,+\infty)= \bigcup_{n\in\mathbb{N}}[a_{n},+\infty)
Por ser una unión numerable pertenece a \beta_{2}
Con esto vemos que \beta_{1}\subset\beta_{2} y, por lo tanto, \tau(\beta_{1})\subset\tau(\beta_{2})\Rightarrow \tau_{1}\subset\tau_{2}
Como \forall O\in\tau_{1},\ O \in\tau_{2} \Rightarrow {(f^{-1})}^{-1}(O)=f(O)\in\tau_{2} se tiene que f^{-1} es continua
Vimos en clase que
ResponderEliminar\tau_1=\beta_1 \cup \{ \mathfrac{R}, \emptyset \}
\tau_2=\beta_2 \cup \tau_1
por lo tanto, \tau_1 \subset \tau_2
Veamos que no hay homeomorfismos de (\R,\tau_1) en (\R,\tau_2)
Supongamos que existe f:(\R,\tau_1) \longrightarrow (\R,\tau_2) continua.
Entonces, la imagen inversa de todo abierto de \tau_2 tiene que pertenecer a \tau_1, cojamos por ejemplo el siguiente y veamos lo que ocurre
f^{-1}([a,\infty))=[b,+\infty)\not\in \tau_1
llegamos a una contradicción, por lo tanto f no puede ser continua(f^{-1} sí es continua). Llegamos a la conclusión de que no pueden existir tales homeomorfismos y no existen aplicaciones continuas de \tau_1 en \tau_2, sean o no biyectivas.
Corrección de erratas:
ResponderEliminarVimos en clase que
\tau_1=\beta_1 \cup \{ \mathfrac{R}, \emptyset \}
\tau_2=\beta_2 \cup \tau_1
por lo tanto, \tau_1 \subset \tau_2
Veamos que no hay homeomorfismos de (\mathfrac{R},\tau_1) en (\mathfrac{R},\tau_2)
Supongamos que existe f:(\mathfrac{R},\tau_1) \longrightarrow (\mathfrac{R},\tau_2) continua.
Entonces, la imagen inversa de todo abierto de \tau_2 tiene que pertenecer a \tau_1, cojamos por ejemplo el siguiente y veamos lo que ocurre
f^{-1}([a,\infty))=[b,+\infty)\not\in \tau_1
llegamos a una contradicción, por lo tanto f no puede ser continua(f^{-1} sí es continua). Llegamos a la conclusión de que no pueden existir tales homeomorfismos y no existen aplicaciones continuas de \tau_1 en \tau_2, sean o no biyectivas.
Para Antonio: ¿hace falta unión "numerable"?
ResponderEliminarPara Alberto: supones que f es continua. Por tanto, f^{-1}([a,\infty)) está en \tau_1. ¿cuál es la contradicción? O si quieres, ¿cómo sabes que la imagen inversa de [a,\infty) es de la forma [b,\infty)?
Bueno, dicha unión se ve que es numerable, a lo mejor era algo redundante el decirlo. Por lo demás, ¿el razonamiento mío está bien?
ResponderEliminarComo hemos supuesto que f es continua, por definición de imagen inversa, f^{-1}([a,\infty))=[b,\infty) donde b=f^{-1}(a)
ResponderEliminarLa contradicción es que el intervalo [f^{-1}(a),\infty)\not\in\tau_{1}
Por lo tanto, no puede haber funciones continuas de (\mathbb{R},\tau_{1}) en (\mathbb{R},\tau_{2})