domingo, 21 de noviembre de 2010

Homeomorfismo en R con topologías de semiintervalos

En $\mathbb{R}$ consideramos las topologías $\tau_1$ y $\tau_2$ generadas,
respectivamente, por
$$\beta_1=\{(a,\infty);a\in R\}.$$
$$\beta_2=\{[a,\infty);A\in R\}.$$
La pregunta que hacemos es sobre los homeomorfismos (si hay) de $(R,\tau_1)$ en $(R,\tau_2)$. Si no, por aplicaciones biyectivas y continuas de un espacio en otro.

Pongo un ejemplo. La aplicación $f(x)=x+1$ es biyectiva, pero no es continua, porque
$f^{-1}([0,\infty))=[-1,\infty)$ y $[-1,\infty)\not\in \tau_1$.

Sin embargo, $f^{-1}$ sí es continua.

7 comentarios:

  1. En general, podemos ver que todo elemento B1 perteneciente a beta1, se encuentra en la segunda.
    Para ello, consideramos para cada "a" de "R" la sucesión definida como: An={a+1/n} Esta sucesión converge a "a" y a(R,tau1)
    Para todo O perteneciente a tau1 (f-1)-1(O)=f(O)perteneciente a tau2.
    La imagen inversa de todo abierto de tau1 es abierto de tau2. Con esto concluimos que f-1 es continua

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  2. En general, podemos ver que $$\forall B_{1} \in \beta_{1}, B_{1}\in\beta_{2}$$

    Para ello tomamos $\forall a\in\mathbb{R}\ {a_{n} }$, la sucesión definida como $a_{n}=a+\frac{1}{n}$ . Cada $[a_{n},\infty)\in\beta_{2}.$
    Entonces tenemos que $$(a,+\infty)= \bigcup_{n\in\mathbb{N}}[a_{n},+\infty)$$
    Por ser una unión numerable pertenece a $\beta_{2}$
    Con esto vemos que $\beta_{1}\subset\beta_{2}$ y, por lo tanto, $\tau(\beta_{1})\subset\tau(\beta_{2})\Rightarrow \tau_{1}\subset\tau_{2}$

    Como $\forall O\in\tau_{1},\ O \in\tau_{2} \Rightarrow {(f^{-1})}^{-1}(O)=f(O)\in\tau_{2}$ se tiene que $f^{-1}$ es continua

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  3. Vimos en clase que
    $\tau_1$=$\beta_1$ $\cup$ $\{$ $\mathfrac{R}$, $\emptyset$ $\}$
    $\tau_2$=$\beta_2$ $\cup$ $\tau_1$
    por lo tanto, $\tau_1$ $\subset$ $\tau_2$

    Veamos que no hay homeomorfismos de $(\R,\tau_1)$ en $(\R,\tau_2)$

    Supongamos que existe f:$(\R,\tau_1)$ $\longrightarrow$ $(\R,\tau_2)$ continua.
    Entonces, la imagen inversa de todo abierto de $\tau_2$ tiene que pertenecer a $\tau_1$, cojamos por ejemplo el siguiente y veamos lo que ocurre
    $f^{-1}([a,\infty))=[b,+\infty)\not\in \tau_1$
    llegamos a una contradicción, por lo tanto f no puede ser continua($f^{-1}$ sí es continua). Llegamos a la conclusión de que no pueden existir tales homeomorfismos y no existen aplicaciones continuas de $\tau_1$ en $\tau_2$, sean o no biyectivas.

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  4. Corrección de erratas:

    Vimos en clase que
    $\tau_1$=$\beta_1$ $\cup$ $\{$ $\mathfrac{R}$, $\emptyset$ $\}$
    $\tau_2$=$\beta_2$ $\cup$ $\tau_1$
    por lo tanto, $\tau_1$ $\subset$ $\tau_2$

    Veamos que no hay homeomorfismos de $(\mathfrac{R},\tau_1)$ en $(\mathfrac{R},\tau_2)$

    Supongamos que existe f:$(\mathfrac{R},\tau_1)$ $\longrightarrow$ $(\mathfrac{R},\tau_2)$ continua.
    Entonces, la imagen inversa de todo abierto de $\tau_2$ tiene que pertenecer a $\tau_1$, cojamos por ejemplo el siguiente y veamos lo que ocurre
    $f^{-1}([a,\infty))=[b,+\infty)\not\in \tau_1$
    llegamos a una contradicción, por lo tanto f no puede ser continua($f^{-1}$ sí es continua). Llegamos a la conclusión de que no pueden existir tales homeomorfismos y no existen aplicaciones continuas de $\tau_1$ en $\tau_2$, sean o no biyectivas.

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  5. Para Antonio: ¿hace falta unión "numerable"?

    Para Alberto: supones que f es continua. Por tanto, $f^{-1}([a,\infty))$ está en $\tau_1$. ¿cuál es la contradicción? O si quieres, ¿cómo sabes que la imagen inversa de $[a,\infty)$ es de la forma $[b,\infty)$?

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  6. Bueno, dicha unión se ve que es numerable, a lo mejor era algo redundante el decirlo. Por lo demás, ¿el razonamiento mío está bien?

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  7. Como hemos supuesto que f es continua, por definición de imagen inversa, $f^{-1}([a,\infty))=[b,\infty)$ donde $b=f^{-1}(a)$
    La contradicción es que el intervalo $[f^{-1}(a),\infty)\not\in\tau_{1}$
    Por lo tanto, no puede haber funciones continuas de $(\mathbb{R},\tau_{1})$ en $(\mathbb{R},\tau_{2})$

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