La topología inducida en \mathbb{Z} como subconjunto de (\mathbb{R},\tau_u) es la discreta. Uno se imagina los subconjuntos (con topologías inducidas) de \mathbb{R}^n con la topología discreta como conjuntos con "puntos aislados". Es claro que hay que decir primero qué topología se está considerando en \mathbb{R}^n.
Si \tau_S es la topología de Sorgenfrey de \mathbb{R}, sabemos que la topología inducida en el conjunto A=\{(x,-x);x\in\mathbb{R}\} como subconjunto de (\mathbb{R}^2,\tau_S\times\tau_S) es la discreta. Este conjunto no es un conjunto de "puntos aislados". Por otro lado, considerando el mismo espacio producto, la topología inducida en B=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} es también la discreta.
(Comparando con el anterior párrafo) Consideramos en \mathbb{R} la topología \tau generada por los intervalos de la forma [a,\infty). Se puede comprobar que si tomamos (\mathbb{R}^2,\tau\times\tau), la topología inducida en A es la discreta, pero en B ¡no es la discreta!
Si \tau_S es la topología de Sorgenfrey de \mathbb{R}, sabemos que la topología inducida en el conjunto A=\{(x,-x);x\in\mathbb{R}\} como subconjunto de (\mathbb{R}^2,\tau_S\times\tau_S) es la discreta. Este conjunto no es un conjunto de "puntos aislados". Por otro lado, considerando el mismo espacio producto, la topología inducida en B=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} es también la discreta.
(Comparando con el anterior párrafo) Consideramos en \mathbb{R} la topología \tau generada por los intervalos de la forma [a,\infty). Se puede comprobar que si tomamos (\mathbb{R}^2,\tau\times\tau), la topología inducida en A es la discreta, pero en B ¡no es la discreta!
Para lo dicho en el último párrafo.
ResponderEliminarUna base de entornos de un punto (x,y)\in\mathbb{R}^2 es \beta_{(x,y)}=\beta_x\times\beta_y=\{[x,\infty)\times[y,\infty)\} \\
Entonces una base de entornos de un punto del conjunto A, que es de la forma (x,-x) es: \beta_{(x,-x)}^A=\{[x,\infty)\times[-x,\infty)\cap A\}=\{(x,-x)\}\\
Esto nos dice que la topología inducida en A es, efectivamente, la discreta.\\
Si ahora hacemos lo mismo para el conjunto B=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} tenemos que si (n,m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},\ \beta_{(n,m)}^B=\{[n,\infty)\times[m,\infty)\cap B\}=\{(a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} : a\geq n, b\geq m\}. Y esto no es una base de entornos de la topología discreta.