Cuando pegar es pegar de verdad

Voy a recordar un ejercicio que se hizo ayer en clase y justifica el título de esta entrada.

En el plano $R^2$ consideramos el conjunto $X$ formado por dos rectas paralelas, concretamente las rectas $y=0$ e $y=1$:
$$X=\{(x,0);x\in R\}\cup \{(x,1);x\in R\}.$$
Consideramos la relación de equivalencia $\sim$ que relaciona $(x,0)$ con $(x,1)$, para cada $x\in R$. Entonces el espacio cociente $X/\sim$ es homeomorfo a la recta euclídea $R$ (o si uno prefiere, por ejemplo, a la recta $y=0$).

Intuitivamente la relación de equivalencia nos dice que pegamos la recta $y=0$ con la recta $y=1$, pegando cada punto $(x,0)$ con el correspondiente $(x,1)$ de la recta $y=1$. Y es evidente que el cociente da ¡una única recta!

Basta con definir la aplicación $f:X\rightarrow R$ por $f(x,y)=x$. Esta aplicación tiene una inversa continua por la derecha, luego identificación. Además la relación inducida por $f$ es $\sim$.