Sea X un conjunto con dos topologías \tau_1 y \tau_2. Si las dos topologías son compactas, la intersección \tau_1\cap \tau_2 también lo es: dado un recubrimiento \{O_i: i\in I\} de X por abiertos de \tau_1\cap \tau_2, los conjuntos O_i son elementos de \tau_1 y de \tau_2, luego existe un subrecubrimiento finito. En verdad, sólo hace falta que una topología sea compacta.
A continuación pongo un ejemplo de que la intersección de dos topologías no compactas es compacta. Consideramos X=\mathbb{R} la recta real y \tau_1, \tau_2 las topologías a derechas e izquierdas, respectivamente. Ninguna de ellas es compacta. Así, y para \tau_1, tenemos el siguiente recubrimiento por abiertos:
{\mathbb R}=\cup_{x\in {\mathbb R}} [x,\infty).
Sin embargo, si hubiera un recubrimiento finito, se tendría:
{\mathbb R}=\cup_{i=1}^n\ [x_i,\infty)=[\min\{x_1,\ldots,x_n\},\infty),
y {\mathbb R} estaría acotado inferiormente.
A continuación pongo un ejemplo de que la intersección de dos topologías no compactas es compacta. Consideramos X=\mathbb{R} la recta real y \tau_1, \tau_2 las topologías a derechas e izquierdas, respectivamente. Ninguna de ellas es compacta. Así, y para \tau_1, tenemos el siguiente recubrimiento por abiertos:
{\mathbb R}=\cup_{x\in {\mathbb R}} [x,\infty).
Sin embargo, si hubiera un recubrimiento finito, se tendría:
{\mathbb R}=\cup_{i=1}^n\ [x_i,\infty)=[\min\{x_1,\ldots,x_n\},\infty),
y {\mathbb R} estaría acotado inferiormente.
Calculamos ahora \tau_1\cap \tau_2. Si O\in\tau_1\cap\tau_2 y no es trivial, entonces O debe contener a un conjunto del tipo [x,\infty) y otro de la forma (-\infty,y] y esto daría que O={\mathbb R}. Por tanto, O tiene que ser trivial, es decir,
\tau_1\cap \tau_2=\{\emptyset,{\mathbb R}\}.Como es una topología finita, es compacta.
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