Más ejemplos de espacios topológicos

Seguimos con dos ejemplos de espacios topológicos. Sea $X$ un conjunto y $A\subset X$ un subconjunto que prefijamos. Definimos la topología como
$$\tau=\{O\subset X: A\subset O\}\cup\{\emptyset\}.$$ Es decir, un conjunto es abierto en la topología $\tau$ si contiene a $A$. La prueba de que $\tau$ es una topología es muy fácil. Hacemos las siguientes observaciones:

1. La intersección arbitraria de abiertos también es abierto.
2. Un conjunto abierto es el que contiene a $A$, pero un conjunto cerrado no es aquél que no contiene a $A$.
3. Un conjunto $F$ es cerrado si, por definición, $A\subset X-F$, es decir, $F\subset X-A$.

La otra topología que definimos es
$$\tau'=\{O\subset X: O\subset A\}\cup\{X\}.$$ Por tanto, $\tau'$ coincide con la familia de cerrados de la topología $\tau$, es decir, $\tau'=\mathcal{F}$.

Finalmente, si tomamos $A=\{p\}$ un punto fijo, la topología $\tau$ la llamamos  topología del punto incluido. Para la topología $\tau'$, tenemos $\tau'=\{\emptyset,\{p\},X\}$. 

Un ejemplo de espacio topológico

Empezamos el curso con un ejemplo un espacio topológico y que ha aparecido en el examen de septiembre. Consideramos el conjunto $X=[0,1]$ y la familia de abiertos es $\tau=\{(a,1]:a\geq 1/2\}\cup\{\emptyset,X\}$. La prueba de que $\tau$ es una topología es sencilla, pues la intersección de dos intervalos de la forma $[a,1]$ y $(b,1]$ es $(\max\{a,b\},1]$. Para la unión, consideramos $\{(a_i,1]:i\in I\}\subset\tau$. Entonces si $b=\inf\{a_i:i\in I\}$, se tiene $b\geq 1/2$ y
$$\cup_{i\in I} (a_i,1]=(b,1].$$
Probar esta igualdad que, aunque es fácil, hasta que uno no lo hace explícitamente, no se da cuenta de todos los detalles.

Por supuesto, la familia de cerrados es (¡comprobar!)
$${\cal F}=\{[0,a]:a\geq 1/2\}\cup\{\emptyset,X\}.$$

Dejo dos ejercicios:

1. Estudiar si $\tau'=\{(a,1]:a  > 1/2\}\cup\{\emptyset,X\}$ es una topología en $X$. 
2. Si  $0\leq c < 1$, estudiar si $\tau''=\{(a,1]:a\geq c\}\cup\{\emptyset,X\}$ es una topología en $X$.

Continuando con el nuevo libro de topología

Siguiendo con el libro "Topología", los contenidos se refieren a un curso algo amplio de topología general, con un último tema sobre el grupo fundamental. Exactamente son:

1. Espacios topológicos. 2. Espacios métricos. 3. Aplicaciones continuas. 4. Homeomorfismos. 5. Topología producto e inicial. 6. Conexión. 7. Axiomas de separación. 8. Compacidad. 9. Espacios cocientes. 10. Espacios homogéneos y 11. Grupo fundamental.

Por último, y respecto del libro "Ejercicios resueltos de topología general", y como algunas personas me han dicho que está agotado, os informo que al menos en la librería Fleming hay ejemplares suficientes. El precio es 10 euros. Doy los datos de la librería:

Librería Fleming-Ciencias
Calle Motos Guirao, 2
ciencias@libreria-fleming.com
Motos Guirao 2.
tfno: 958 29 06 34

Me han dicho que iban a hacer un ¡pack de topología!, incluyendo los dos libros.

Nuevo libro de topología

El curso en la Universidad de Granada está a punto de empezar. Como novedad para mí, es que no voy a dar clases de topología, después de 8 años ininterrumpidos de enseñar topología en el segundo curso de matemáticas de la antigua licenciatura, y ahora en el nuevo grado en matemáticas.

Este blog empezó en el curso 2008/09, y he intentado a lo largo de estos años hacer un blog con una publicación de entradas que fuera regular en el tiempo, al menos, durante el periodo docente.

Justo ahora que dejo la enseñanza de la asignatura de topología, acabo de publicar un libro titulado "Topología" y editado por la Editorial Universitaria de Granada. Podéis ver más información aquí.

Este libro es un desarrollo extenso de los programas de topología de los últimos años, con más de 120 'ejemplos', que no son más que un tipo de 'ejercicios resueltos', y más de 75 figuras.

También es un complemento de mi libro de ejercicios de topología general:  en verdad, éste último recoge los ejercicios propuestos del que acabo ahora de publicar.

Para este blog, mi intención en este curso es poner algunos ejercicios/ejemplos que aparecen en el nuevo libro, con algunos comentarios para su resolución. Ya os daré más detalles en próximas entradas. Espero, para aquéllos que adquieran el libro que éste sea útil en su aprendizaje de la topología que, como digo muchas veces, la topología no es fácil.