Más ejemplos de espacios topológicos

Seguimos con dos ejemplos de espacios topológicos. Sea $X$ un conjunto y $A\subset X$ un subconjunto que prefijamos. Definimos la topología como
$$\tau=\{O\subset X: A\subset O\}\cup\{\emptyset\}.$$ Es decir, un conjunto es abierto en la topología $\tau$ si contiene a $A$. La prueba de que $\tau$ es una topología es muy fácil. Hacemos las siguientes observaciones:

1. La intersección arbitraria de abiertos también es abierto.
2. Un conjunto abierto es el que contiene a $A$, pero un conjunto cerrado no es aquél que no contiene a $A$.
3. Un conjunto $F$ es cerrado si, por definición, $A\subset X-F$, es decir, $F\subset X-A$.

La otra topología que definimos es
$$\tau'=\{O\subset X: O\subset A\}\cup\{X\}.$$ Por tanto, $\tau'$ coincide con la familia de cerrados de la topología $\tau$, es decir, $\tau'=\mathcal{F}$.

Finalmente, si tomamos $A=\{p\}$ un punto fijo, la topología $\tau$ la llamamos  topología del punto incluido. Para la topología $\tau'$, tenemos $\tau'=\{\emptyset,\{p\},X\}$.