Continuamos con sucesiones

Hacemos otro ejercicio parecido al de la anterior entrada, comparando la dificultad y las diferencias entre usar la definición para hallar el interior, y la caracterización por sucesiones. En general, la prueba por sucesiones es más 'fácil' que usar la propia definición.

Sea $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y-x\geq 0\}$. Este conjunto es uno de los  semiplanos que divide la recta $y=x$ al plano eculídeo ${\mathbb R}^2$, incluyendo el borde. Veamos que $int(A)= \{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y-x >  0\}$. Primero probamos que dichos puntos son interiores, y luego que no hay más puntos de $A$ que lo sean.

Sea $(x,y)$ tal que $y>x$. Sea ahora $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$. Hay que probar que la sucesión a partir de cierto término, se encuentra en $A$. Y ahora viene porqué es más 'fácil' usar sucesiones: porque se utilizar propiedades de convergencia de sucesiones de números reales. Así, si $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$, entonces $\{x_n\}\rightarrow x$ y $\{y_n\}\rightarrow y$. Y por tanto, $\{y_n-x_n\}\rightarrow y-x$. Como $y-x > 0$, tenemos una sucesión de números reales, a saber, $\{y_n-x_n\}$ que converge a un número positivo. Se sabe entonces que a partir de cierto lugar de la sucesión, los términos son todos positivos, es decir, a partir de cierto lugar, $y_n-x_n > 0$, y por tanto, $(x_n,y_n)\in A$.

Ahora queda probar que $(x,y)$ con $y=x$ no es un punto interior de $A$. Para ello hay que encontrar una sucesión con ningún elemento en $A$ que converja a $(x,y)$. Pero para ello basta tomar $\{(x,x-1/n)\}$ que converge a $(x,x)=(x,y)$, pero $(x-1/n)-x < 0$, luego no está en $A$.

Hallando interior y adherencia en el plano euclídeo (II)

Volvemos a la entrada anterior y hallamos  el interior y la adherencia del conjunto $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y=0\}$ en $({\mathbb R}^2,\tau_u)$ usando sucesiones.

Probamos que el interior de $A$ es el conjunto vacío. Por contradicción, supongamos que $(x,0)\in int(A)$. Por la caracterización mediante sucesiones, toda sucesión que converja a $(x,0)$, a partir de un cierto lugar de la sucesión, los elementos deben pertenecer a $A$. Tomamos la sucesión $\{(x,1/n)\}$. Es evidente que $\{(x,1/n)\}\rightarrow (x,0)$, pero ningún elemento de la sucesión está en $A$ ya que las ordenadas, a saber, $1/n$, nunca son cero.

Para la adherencia de $A$, supongamos que $(x,y)\in\overline{A}$, pero $y\not=0$. Vamos a llegar a una contradicción. Por sucesiones, debe existir una sucesión en $A$ que converja a $(x,y)$. Sea, pues, $\{(x_n,0)\}\rightarrow (x,y)$: observemos que las ordenadas de los elementos de la sucesión deben ser cero, pues el punto debe estar en $A$. Sabemos que una sucesión en ${\mathbb R}^n$ converge a un punto si y sólo si convergen las sucesiones de las coordenadas. Por tanto, $\{x_n\}\rightarrow x$ e $\{0\}\rightarrow y$. Pero de esta última convergencia se deduce que $y=0$: contradicción.

Os dejo que comparéis las dos demostraciones que se han hecho para este ejercicio, es decir, la de esta entrada y la anterior, y veáis cuál es más 'sencilla'.

Hallando interior y adherencia en el plano euclídeo

Vamos a calcular el interior y la adherencia del conjunto $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y=0\}$ dentro del espacio topológico $({\mathbb R}^2,\tau_u)$, es decir, del plano euclídeo. Este conjunto no es más que el eje de abcisas del plano. Además vamos a hacerlo usando bases de entornos. Recordemos que en la definición de punto interior o punto adherente se usa el concepto de entorno. Aquí vamos a usar como bases de entornos las bolas centradas en el punto, es decir, si $(x,y)\in {\mathbb R}^2$, entonces $$\beta_{(x,y)}=\{B_r(x,y):r > 0\}$$ es base de entornos. El ejercicio se puede hacer bastante más rápido usando propiedades de la topología producto. También, y desde el punto de vista de espacios métricos, podemos usar las correspondientes caracterizaciones mediante sucesiones: esto lo haremos en la próxima entrada. Aquí nos limitamos a usar sólamente la definición.

Veamos que el interior de $A$ es el conjunto vacío, o dicho de otro modo, $A$ no tiene puntos interiores. Supongamos que $(x,y)\in int(A)$. En particular, $(x,y)$ debe pertenecer al conjunto $A$ y por tanto, $y=0$. Supongamos que $(X,0)$ es interior. Por tanto, existe $r>0$ tal que $B_r(x,0)\subset A$. Pero es claro que el punto $(x,r/2)$ está en la bola, ya que su distancia a $(x,0)$ es $|(x,r/2)-(x,0)|=|(0,r/2)|=r/2 < r$ y que dicho punto no pertenece a $A$ pues $r/2\not=0$.

Probamos ahora que la adherencia de $A$ es el propio conjunto $A$. Ya que siempre $A\subset\overline{A}$, lo que estamos diciendo es que no hay puntos adherentes aparte de los de $A$. Por contradicción, supongamos que $(x,y)\in\overline{A}$ y que $y\not=0$. Entonces toda bola centrada en el punto interseca a $A$. Sin embargo hay bolas que no lo cumple, por ejemplo, las de radio $r=|y|$. Observemos que $r>0$ ya que $y\not=0$. Supongamos que $y > 0$ (el razonamiento es análogo si $y < 0$. Si $(a,b)\in B_r(x,y)\cap A$, entonces $b=0$ y $d((a,0),(x,y)) < r$. Pero entonces $$r > d((x,y),(a,0)= \sqrt{(x-a)^2+y^2}\geq y=r,$$ llegando a una contradicción.

Probando que varias topologías son las mismas

Sabemos que hay varias formas de definir un espacio topológico, por ejemplo, aparte de la topología, mediante bases de abiertos o bases de entornos. Vamos a poner una muestra con la topología del punto incluido.

Sea $X$ un conjunto y $p\in X$ un punto fijo. Si $x\in X$, denotamos $O_x=\{p,x\}$. Consideramos las siguientes tres topologías:

1.  $\tau_1=\{O\subset X: p\in O\}\cup\{\emptyset\}$
2.  $\tau_2$ es la topología que tiene por base $\beta_2=\{O_x:x\in X\}$.
3.  $\tau_3$ es la topología que tiene por base de entornos para cada punto $x$, $\beta_x^3=\{O_x\}$.

Veamos que las tres topologías son iguales. Hay varias maneras de hacerlo porque a partir de la topología, o bases, o bases de entornos, se puede calcular el resto de elementos topológicos.  Por ejemplo, podemos hallar bases de entornos en cada una de las topologías, y usar la equivalencia de topologías mediante el criterio de Hausdorff. Lo que vamos a hacer en este caso es más aún: vamos a hallar una misma base de entornos en las tres topologías, y por tanto, las tres coinciden.

 Para cualquier  topología $\tau$, sabemos que una base de entornos de $x$ es la familia de todos los abiertos que contienen a $x$. Tomamos $\tau_1$. Entonces $\beta_x^1=\{O\in\tau: x\in O\}$, es decir, $\beta_x^1=\{O\subset X: p,x\in O\}$. Pero es evidente que de entre todos estos conjuntos $O$ que satisfacen que contienen a $p$ y a $x$, hay uno que es el más pequeño, y es claramente $O_x=\{p,x\}$. Por tanto, una base de entornos de $x$ para la topología $\tau_1$ es justamente $\beta_x^3$, es decir, coincide con la que define la topología $\tau_3$.

Para la topología $\tau_2$ (y sin calcular la topología $\tau_2$, es decir, la familia de todos los abiertos), hallamos una base de entornos usando un resultado que nos dice cómo se calcula una base de entornos a partir de una base de abiertos: una base de entornos de $x$ es la familia de elementos de $\beta_2$ que contienen a $x$. Por tanto, $$\beta_x^2=\{B\in\beta_2: x\in B\}=\{O_y:x\in O_y\}.$$ Ahora bien, dicho conjunto $O_y$ siempre contiene a $p$ y a $x$, por tanto, el conjunto $O_x$ es el más pequeño que hay entre todos ellos, y por tanto, forma base de entornos, es decir, $\beta_x^2=\{O_x\}$, que es de nuevo la base de entornos de la topología $\tau_3$.

Por tanto, al encontrar una misma base de entornos para las tres topologías, el resultado de unicidad prueba que las topologías coinciden.

Construyendo bases

Consideramos de nuevo ahora la topología  definida  en   ${\mathbb N}$:
$$\tau=\{\emptyset,{\mathbb N}\}\cup\{A_n: n\in {\mathbb N}\}.$$ Vamos a calcular una base de la topología. De nuevo, lo que estamos preguntando es por una base que tenga 'pocos'  elementos. La base más grande (en número de elementos) es la propia topología $\tau$. Sea ahora una base $\beta$ una base de nuestra topología $\tau$.

Tomamos un abierto $A_n$. Sabemos que si $x\in A_n$, entonces existe un elemento $B\in\beta$ tal que $x\in B\subset A_n$. Elegimos como elemento $x$ el número natural $n\in {\mathbb N}$. Sea $B\in\beta$ tal que $n\in B\subset A_n$. Como $B$ es un abierto, entonces o es $\emptyset$, ${\mathbb N}$ o un elemento de la forma $A_m$, con $m\in {\mathbb N}$. Es evidente que no puede ser el conjunto vacío ni ${\mathbb N}$. Por tanto, $n\in A_m\subset A_n$. Como $n\in A_m$, entonces $n\leq m$. Por otro lado, como $A_m\subset A_n$, entonces $$\{1,2,\ldots,m\}\subset\{1,2,\ldots,n\}.$$ Por tanto $m\leq n$. En particular, $n=m$. Esto prueba que $B$ tiene que ser $A_n$.

Como esto se ha hecho para todo $n\in {\mathbb N}$, entonces $\{A_n:n\in {\mathbb N}\}\subset\beta$. Esto quiere decir que $\beta$ contiene al menos $\tau-\{\emptyset,{\mathbb N}\}$. Como conclusión, las únicas bases de este espacio topológico son $\tau-\{\emptyset,{\mathbb N}\}$, y añadir $\emptyset$, ${\mathbb N}$ o toda la topología. Por tanto, podemos decir que, esencialmente,  la única base es la propia topología. 

Construyendo bases de entornos

Para las dos topologías de la entrada anterior, vamos a hallar una base de entornos. Recordamos las dos topologías definidas en   ${\mathbb N}$:
$$\tau_1=\{\emptyset,{\mathbb N}\}\cup\{A_n: n\in {\mathbb N}\}.$$ $$\tau_2=\{\emptyset\}\cup \{B_n:n\in {\mathbb N}\}.$$
Para hallar una base de entornos, precisamos algo más. Un punto en un espacio topológico tiene muchas bases de entornos: por ejemplo, dada una, le añadimos un entorno cualquiera del punto, resultando una base de entornos. Sin embargo, la nueva base de entornos ha incrementado su tamaño. Por tanto, lo que buscamos es una base de entornos con un número 'pequeño' de elementos.

Una forma 'standard' de construir bases de entornos de un punto $x\in X$ es considerar todos los abiertos que contiene al punto, y que denotamos por $\tau_x$:  $\tau_x=\{O\in\tau: x\in O\}$. Y a partir de ésta, intentar quitar elementos, si fuera posible. Veamos en nuestro caso.

Para la topología $\tau_1$, sea $m\in {\mathbb N}$. Es claro que $\tau_m^1=\{A_n:n\geq m\}$. Da la casualidad que cada uno de estos abiertos $A_n$ está incluido en otro $A_k$ si $k\geq n$. Por tanto, y es importante, existe un  abierto que es el más pequeño (respecto de la inclusión). Este abierto es justamente $A_m$. Por tanto, una base de entornos de $m$ es $\beta_m^1=\{A_m\}$.

Para la topología $\tau_2$, el razonamiento es análogo. Ahora $\tau_m^2=\{B_n: n\leq m\}$ y hay uno de estos abiertos más pequeño, el $B_m$. Por tanto, $\beta_m^2=\{B_m\}$.

Tener, como en este caso, bases de entornos ¡con sólo un elemento! facilita el trabajo en el espacio topológico. Por ejemplo, para hallar el interior de un conjunto $C$, y usando la caracterización por bases de entornos, entonces $m\in C$ es interior si $A_m\subset C$ (para $\tau_1)$ y si $B_m\subset C$ (para $\tau_2$). Cogiendo $C=\{3,4\}$ como en la entrada anterior, es evidente que ni $A_m$ ni $B_m$ están incluidos en $C$, luego el interior es el conjunto vacío. Del mismo modo se puede razonar para el exterior de $C$, ya que el exterior de $C$ es el interior del complementario.

Cálculo del interior de un conjunto para dos topologías

En el conjunto de los número naturales ${\mathbb N}$, consideramos dos topologías:
$$\tau_1=\{\emptyset,{\mathbb N}\}\cup\{A_n: n\in {\mathbb N}\}.$$
$$\tau_2=\{\emptyset\}\cup \{B_n:n\in {\mathbb N}\}.$$ Aquí $A_n=\{1,2,\ldots,n\}$ y $B_n=\{n,n+1,\ldots\}$.

Hallamos el interior,   exterior y frontera del conjunto $C=\{3,4\}$.

Empezamos con la topología $\tau_1$. El interior es el conjunto abierto más grande dentro de $C$. Ya ningún conjunto del tipo $A_n$ está incluido en $C$, el único abierto es $\emptyset$. Por tanto, $int(C)=\emptyset$. Para el exterior, hallamos el interior del complementario de $C$. Éste es $\{1,2,5,6,\ldots\}$ y el abierto más grande dentro es $A_2=\{1,2\}$. Por tanto, $ext(C)=\{1,2\}$. Finalmente, la frontera es el complementario del interior y exterior, es decir, $Fr(C)=\{3,4,\ldots\}$.

Trabajamos ahora con la topología $\tau_2$.  De nuevo, no hay ningún conjunto del tipo $B_n$ dentro de $C$, luego $int(C)=\emptyset$. Para el exterior, consideramos ${\mathbb N}-C=\{1,2,5,6,\ldots\}$. Es evidente que $B_5=\{5,6,\ldots\}$ es el abierto más grande, luego $ext(C)=B_5$. Y por tanto, $Fr(C)=\{1,2,3,4\}$.

Para la adherencia, y como $\overline{C}={\mathbb N}-ext(C)$, tenemos que la adherencia de $C$ para $\tau_1$ es $\{3,4,\ldots\}$ y para la topología $\tau_2$ es $\{1,2,3,4\}$. En ambos casos, la adherencia coincide con la frontera de $C$.