Hallando interior y adherencia en el plano euclídeo

Vamos a calcular el interior y la adherencia del conjunto $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y=0\}$ dentro del espacio topológico $({\mathbb R}^2,\tau_u)$, es decir, del plano euclídeo. Este conjunto no es más que el eje de abcisas del plano. Además vamos a hacerlo usando bases de entornos. Recordemos que en la definición de punto interior o punto adherente se usa el concepto de entorno. Aquí vamos a usar como bases de entornos las bolas centradas en el punto, es decir, si $(x,y)\in {\mathbb R}^2$, entonces $$\beta_{(x,y)}=\{B_r(x,y):r > 0\}$$ es base de entornos. El ejercicio se puede hacer bastante más rápido usando propiedades de la topología producto. También, y desde el punto de vista de espacios métricos, podemos usar las correspondientes caracterizaciones mediante sucesiones: esto lo haremos en la próxima entrada. Aquí nos limitamos a usar sólamente la definición.

Veamos que el interior de $A$ es el conjunto vacío, o dicho de otro modo, $A$ no tiene puntos interiores. Supongamos que $(x,y)\in int(A)$. En particular, $(x,y)$ debe pertenecer al conjunto $A$ y por tanto, $y=0$. Supongamos que $(X,0)$ es interior. Por tanto, existe $r>0$ tal que $B_r(x,0)\subset A$. Pero es claro que el punto $(x,r/2)$ está en la bola, ya que su distancia a $(x,0)$ es $|(x,r/2)-(x,0)|=|(0,r/2)|=r/2 < r$ y que dicho punto no pertenece a $A$ pues $r/2\not=0$.

Probamos ahora que la adherencia de $A$ es el propio conjunto $A$. Ya que siempre $A\subset\overline{A}$, lo que estamos diciendo es que no hay puntos adherentes aparte de los de $A$. Por contradicción, supongamos que $(x,y)\in\overline{A}$ y que $y\not=0$. Entonces toda bola centrada en el punto interseca a $A$. Sin embargo hay bolas que no lo cumple, por ejemplo, las de radio $r=|y|$. Observemos que $r>0$ ya que $y\not=0$. Supongamos que $y > 0$ (el razonamiento es análogo si $y < 0$. Si $(a,b)\in B_r(x,y)\cap A$, entonces $b=0$ y $d((a,0),(x,y)) < r$. Pero entonces $$r > d((x,y),(a,0)= \sqrt{(x-a)^2+y^2}\geq y=r,$$ llegando a una contradicción.