A continuación... ejemplos para todos los gustos.
- En la topología de los complementos finitos cualquier conjunto es compacto. Este espacio, es por tanto, COMPACTO y LOCALMENTE COMPACTO.
- El espacio euclídeo R^n NO es compacto pero SI es localmente compacto: basta tomar las bolas cerradas centradas en un punto.
- El conjunto de los números racionales NO es compacto y NO es localmente compacto: ningún entorno es cerrado.
- Consideramos
X=Q\cup\{\infty\}
con la topología\tau_u \cup \{X\}.
Este espacio SI es compacto pues dado un recubrimiento, el abierto que contiene a\infty
es X, y por tanto, recubre a todo el espacio. Este espacio NO es localmente compacto, pues la topología inducida en Q es la topología usual, que no es localmente compacto.
otro ejemplo de espacio topológico que no es compacto ni localmentr compacto es la recta de sorgenfrey:
ResponderEliminarno es compacta: R= U [-n,n) tq n es natural, pero un subrecubrimiento finito nos da un subconjunto del tipo [ , ) distinto de R
no es localmente compacta: tomamos como base de entornos Bx = {[x,y); y > x}, estos entornos no son compacto ya que podemos escribir
[x,y)=U[x,y-(1/n)) y no podemos extraer subrecubrimiento finito. Sea U un entorno de x que suponemos compacto, y sea y nº real t.q. [x,y) c U, como [x,y)es un conjunto cerrado incluido en un compacto, es compacto, lo cual es una contradición
Otro ejemplo de espacio que no es compacto, pero si es localmente compacto es X con la topología discreta (siendo X no finito):
ResponderEliminarno compacto: X=U{x} tq x pertenece a X. No podemos obtener subrecubrimiento finito.
localmente compacto: base de entornos compacta para cada punto Bx={{x}}
Si X es un espacio topológico compacto, entonces necesariamente también es localmente compacto: basta tomar, para un x elemento de X, a X como compacto y como abierto que contiene a x.
ResponderEliminarPor lo tanto, ango anda raro con el último ejemplo.
Porque los racionales no son localmente compactos???
ResponderEliminarNingun entorno en Q es compacto. Si U lo fuera de x, entonces existe $x\in (a,b)\cap Q\subset U$. Tomando adherencias en R, como U es cerrado y la adherencia de Q es R, entonces $[a,b]\subset U$, lo cual es falso, pues U está en Q.
ResponderEliminarPero U es cerrado para la topología de Q. Al tomar la adherencia en R, lo que te queda es un cerrado en R, no necesariamente U
ResponderEliminarCierto Enrique, un conjunto cerrado en Q no tiene porqué selo en R. Pero el razonamiento aquí es que, por la transitividad de las topologías relativas, decir que U es compacto en Q es lo mismo que decir que es compacto en R. Por tanto, U es cerrado (y acotado) en R.
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