Ya he comentado varias veces en clase el libro "Counterexamples in Topology" de Steen y Seebach. Ver también
http://topologia-i.blogspot.com/2009/03/separacion-algunos-ejemplos.htmlAparecen 143 espacios topológicos a los cuales se les estudia si satisfacen o no propiedades topológicas, poniendo en una (gran) tabla de dos entradas, por un lado el espacio topológico, y en el otro, la propiedad. Ponen 1 si la satisface y 0 si no: ver las páginas 170 a 179.
Como estamos ahora con la compacidad, me fijo en el número 73, el que llaman "Telophase topology". El espacio es el siguiente. Sea
X=[0,1]\cup\{p\}, donde
p es un objeto que no está en X. La topología T se define por bases de entornos. Para los puntos de
[0,1], la base es la de la topología usual. Y para el punto p es la formado por los conjuntos de la forma
(a,1)\cup\{p\}, donde a está en
[0,1). Puede probarse que una base
\beta es la formada por los de la base usual en
[0,1] junto los conjuntos de la forma
(a,1)\cup\{p\}.
También es obvio que la topología inducida en
[0,1] es la topología usual, es decir,
T_{[0,1]}=\tau_u.
En el libro, para la compacidad del 73 ponen 1. Efectivamente, el espacio es compacto. Tomamos un recubrimiento por elementos de la base
\beta del espacio. Uno de ellos, debe contener al punto p, luego ése es de la forma
O=(a,1)\cup\{p\} para algún
a\in[0,1]. El resto de abiertos recubre el conjunto
[0,a], que es compacto: ¡la topología inducida en
[0,a] por
T coincide con la usual!, y sabemos que
[0,a] es compacto. Por tanto, existirá un subrecubrimiento finito. Si a ese recubrimiento le añadimos
O, hemos acabado.
Dejo la pregunta sobre la compacidad local ¿es Hausdorff?