Homeomorfismos en topologías productos

Al comienzo del tema de la topología producto, motivando porqué se define la topología producto tal como se hizo, se dijo algo del tipo "se tiene que definir la topología producto para que aquellas cosas que uno espera que sean ciertas, lo son". Dos ejemplos de ellos son los siguientes:

• Sean dos espacios topológicos $(X,\tau)$, $(Y,\tilde{\tau})$, $q\in Y$. Entonces $X\times\{q\}\cong X$. En el primer espacio estamos considerando la topología producto (o la inducida de la topología producto $\tau\times\tilde{\tau})$.

Sean $(X_1,\tau_2)$, $(X_2,\tau_2)$, $(Y_1,\tilde{\tau}_1)$, $(Y_2,\tilde{\tau}_2)$ cuatro espacios topológicos de forma que $(X_1,\tau_1)\cong (Y_1,\tilde{\tau}_1)$ y $(X_2,\tau_2)\cong (Y_2,\tilde{\tau}_2)$. Entonces $$(X_1\times X_2,\tau_1\times\tau_2)\cong(Y_1\times Y_2,\tilde{\tau}_1\times \tilde{\tau}_2).$$

Como aplicación de lo anterior tenemos que $\mathbb{R}\times\{0\}\cong\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2\cong (0,1)\times(0,1)$.

Un foro para "resolver" problemas

La página web del "Rincón del matemático" (http://rinconmatematico.com) tiene una sección de foros en las que cualquiera pueda participar (http://rinconmatematico.com/foros/). En general, esta parte de foros se usa para "resolver problemas", es decir, alguien tiene un problema que resolver, lo escribe en el foro apropiado y pide ayuda.

Los foros están divididos por "áreas". Así uno encuentra "Álgebra lineal", "Cálculo y análisis matemático", "Ecuaciones diferenciales", etc.

También son interesantes otras partes del foro, como son "Matemáticas recreativas" y "Recursos de matemáticas".

La página web es en español y en general el nivel es para estudiantes de universidad.

Respecto del tipo de respuestas, en general uno recibe la solución del problema, o al menos una sugerencia para ello.En la parte que nos corresponde, hay un subforo de "topología".

Homeomorfismo en R con topologías de semiintervalos

En $\mathbb{R}$ consideramos las topologías $\tau_1$ y $\tau_2$ generadas,

respectivamente, por
$$\beta_1=\{(a,\infty);a\in R\}.$$
$$\beta_2=\{[a,\infty);A\in R\}.$$
La pregunta que hacemos es sobre los homeomorfismos (si hay) de $(R,\tau_1)$ en $(R,\tau_2)$. Si no, por aplicaciones biyectivas y continuas de un espacio en otro.

Pongo un ejemplo. La aplicación $f(x)=x+1$ es biyectiva, pero no es continua, porque
$f^{-1}([0,\infty))=[-1,\infty)$ y $[-1,\infty)\not\in \tau_1$.

Sin embargo, $f^{-1}$ sí es continua.