La recta proyectiva

En el vídeo 

se puede ver una demostración de que la recta proyectiva es homeomorfa a la circunferencia ${\mathbb S}^1$.

Homeomorfismos entre conjuntos finitos

Hemos probado hoy que dos subconjuntos finitos de ${\mathbb R}$, con la topología usual, y con el mismo cardinal, son homeomorfos. Esto se debe a que la topología inducida en un conjunto finito de ${\mathbb R}$ es la topología discreta. El mismo resultado se tiene si cambiamos ${\mathbb R}$ con la topología usual, a un espacio métrico.

Sin embargo, el resultado no es cierto en otros espacios topológicos. Ponemos dos ejemplos, en ambos, conjuntos finitos con el mismo número de elementos.

En el primero consideramos diferentes topologías. Tomamos $X=\{1,2\}$ con la topología del punto incluido $\tau_{in}$ con $p=0$, y $\tau_D$ la topología discreta. Una aplicación biyectiva $f:(X,\tau_D)\rightarrow (X,\tau_{in})$ no lleva abiertos en abiertos, pues si $\in X$ es el punto tal que $f(x)=2$, entonces $\{x\}\in\tau_D$ y $\{2\}\not\in\tau_{in}$. Esto probaría que $f^{-1}$ no es continua.

El segundo ejemplo es un poco diferente. Tomamos ${\mathbb R}$ con la topología del punto incluido $\tau$ para $p=1$. Entonces, con la topología inducida, los conjuntos $X=\{1,2\}$ y $Y=\{3,4\}$ no son homeomorfos. Para $X$, $\tau_{|X}$ es la topología del punto incluido para $p=1$ y $\tau_{|Y}$ es la topología discreta en $Y$. Ahora, el caso es como en el anterior, y no son homeomorfos.

Abollando una pelota

Según la RAE, 

abollar (Der. del lat. bŭlla 'burbuja', 'bola').

1. tr. Producir una depresión en una superficie con un golpe o apretándola. 

Cuando cogemos una bola de plastilina y metemos el dedo, formando un bollo, decimos que ambas figuras son homeomorfas. Podemos 'casi' escribir explícitamente el homeomorfismo. Para ello, tomamos el conjunto $$X=\{(x,y,z)\in{\mathbb R}^3: x^2+y^2+z^2\leq 1\}$$
y abollamos por arriba con el dedo, concretamente, el casquete esférico
$$A=X\cap\{(x,y,z): z\geq \frac{1}{2}\}.$$ Si $B=X\cap\{(x,y,z): z\leq \frac{1}{2}\}$, entonces cambiamos $A$  por su simetría respecto del plano $P$ de ecuación $z=1/2$ y $B$ lo dejamos tal como está. Esta simetría es $\phi(x,y,z)=(x,y,1-z)$ y llamamos $C=\phi(A)$.

Probamos que $X\cong B\cup C$. Definimos $f:X\cup B\cup C$ como
  $$f(x,y,z)=\left\{\begin{array}{ll} (x,y,z) & (x,y,z)\in B\\ (x,y,1-z) & (x,y,z)\in A\end{array}\right.$$
Es evidente que $f$ es biyectiva y que la restricción de $f$ a $B$ y $C$ es continua. Por otro lado, como $B$ y $C$ son cerrados en $X$, se deduce que $f$ es continua. Del mismo modo se prueba que también lo es $f^{-1}$, probando por tanto, que $f$ es un homeomorfismo.

Sobre homeomorfismos y hojas de papel

Numerosos ejemplos de homeomorfismos que hemos construido no son más que las restricciones de otros en espacios más grandes. Sin embargo, cuando hemos definido un homeomorfismo entre la corona circular $\{(x,y):\in{\mathbb R}^2: 1 < x^2+y^2 < 4\}$ y el cilindro ${\mathbb S}^1\times{\mathbb R}$, éste no ha sido la restricción de un homeomorfismo entre ${\mathbb R}^2$ y ${\mathbb R}^3$ ya que estos espacios no son homeomorfos.

Otros homeomorfismos que vemos con los ojos tampoco son restricciones. Así, establecimos un homeomorfismo entre la hoja de papel $X=\{(x,y,z):\in{\mathbb R}^3: z=y^2\}$ y el plano $Y={\mathbb R}^2$ que no era más que a cada punto $(x,y,z)\in X$ lo llevábamos en $(x,y)\in Y$, es decir, $X$ es el grafo de la función $f(x,y)=y^2$ definida en todo ${\mathbb R}^2$. Este homeomorfismo no es la restricción de uno de ${\mathbb R}^3$ a ${\mathbb R}^2$. Podemos verlo en el siguiente vídeo.

Ya indicamos en clases que este homeomorfismo tampoco es el de coger la hoja de papel y 'abrirla', sino el de coger los puntos de la hoja, el conjunto $X$, y dejarlo caer en el plano $Y$, es decir, a cada punto $(x,y,z)$ lo llevamos en $(x,y)$.  Esto lo vemos en el vídeo que adjuntamos.

Un homeomorfismo que no es una afinidad

Continuando con homeomorfismos que no son restricciones de otros, recordamos aquí el que hemos hecho varias veces en clase con un trozo de plastilina, donde en una parte del trozo, metíamos el dedo para deformarlo.  Es evidente que ambos son homeomorfos, pero tenemos que indicar que dicho homeomorfismo no es la restricción de una afinidad $f(x)=Ax+b$ del espacio euclídeo ${\mathbb R}^3$.

Aquí lo mostramos en el vídeo con un trapo. En una parte del trapo hemos levantando una parte, obteniendo otro espacio homeomorfo al inicial. Sin embargo, este homeomorfismo no es la restricción de una afinidad.

Esto se debe a que el homeomorfismo que hemos hecho en el trapo deja 'muchos puntos fijos', todos los que están lejos de la parte en la que hemos empujado con el dedo. Sin embargo, el conjunto de puntos fijos de una afinidad es un subespacio afín, es decir, o es una recta, o es un plano, o es todo el espacio y la aplicación es la identidad. Por ejemplo, si $b=0$, es decir, si $f$ es un isomorfismo, entonces el conjunto de puntos fijos no es más que el subespacio propio del valor propio $\lambda=1$, en particular, es un subespacio vectorial, es decir, una recta vectorial o un plano vectorial. En general, cuando $b\not=0$, entonces el conjunto de puntos fijos es una recta o un plano afín.

Volviendo al caso del trapo, como nuestra aplicación no es la identidad, y los puntos fijos no se encuentra en una recta o en un plano, entonces no es la restricción de una afinidad.

Sobre cáscaras y huevos

 La cáscara de un huevo puede verse como un elipsoide $$E(a,b,c)=\{(x,y,z)\in{\mathbb R}^3: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\},$$donde $a,b,c>0$. Entonces todas las cáscaras de huevos son homeomorfas entre sí, ya que todas son homeomorfas a la esfera unidad ${\mathbb S}^2$. Efectivamente, la afinidad $f:{\mathbb R}^3\rightarrow {\mathbb R}^3$ dada por $f(x,y,z)=(x/a,y/b,z/c)$ lleva $E(a,b,c)$ en ${\mathbb S}^2$. Igual que hemos hecho con la cáscara de huevo, podemos hacer con el huevo, es decir, $$A(a,b,c)=\{(x,y,z)\in{\mathbb R}^3: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1\}.$$

 Para ello tomamos la misma aplicación $f$ y darse cuenta todo huevo es homeomorfo a la clausura de la bola $B_1((0,0,0))$, es decir, a $$\{(x,y,z)\in{\mathbb R}^3: x^2+y^2+z^2\leq 1\},$$Por tanto, todos los huevos son homeomorfos entre sí.

Y finalmente, igual que decimos huevos, podemos afirmar que todas las yemas de los huevos son homeomorfas entre sí.

Homeomorfismos y cardinalidad

Un homeomorfismo tiene que ser una aplicación biyectiva. Por tanto, no existen homeomorfismos entre espacios topológicos cuyos conjuntos tienen distinto cardinal.

Pero también se puede usar la cardinalidad en otro sentido para decir que dos espacios no son homeomorfos. Así sabemos que si $(X,\tau)\cong (Y,\tau')$, entonces $\tau'=f(\tau)$. Por tanto, y como $f$ es biyectiva, el número de abiertos de $(X,\tau')$ coincide con el de $/Y,\tau')$. Así, si $X=\{1,2,3\}$ y $\tau=\{\emptyset,X,\{1\}\}$ y $\tau'=\{\emptyset,X,\{1\},\{1,2\}\}$, entonces $(X,\tau)\not\cong (Y,\tau')$ ya que $\tau$ tiene tres elementos y $\tau'$ tiene cuatro.

Otra forma de usar que $f$ es biyectiva es estudiando la cardinalidad de cada conjunto abierto. Así, $({\mathbb R},\tau_D)$ tiene conjuntos abiertos con un elemento, a saber, todo conjunto unitario $\{x\}$, $x\in {\mathbb R}$ es abierto. Si $({\mathbb R},\tau_D)$ fuera homeomorfo a $({\mathbb R},\tau_u)$, entonces habría  abiertos formados sólo por un elemento, es decir, $\{x\}$ sería abierto en la topología usual, lo cual no es cierto. Y así, los dos espacios no son homeomorfos.

Otro ejemplo se refiere a dos espacios topológicos que se han construido sobre el conjunto de los números naturales ${\mathbb N}$. Tenemos dos topologías que son las siguientes:$$\tau_1=\{\emptyset,{\mathbb N},A_n:n\in {\mathbb N}\},$$ $$\tau_2=\{\emptyset,{\mathbb N},B_n:n\in {\mathbb N}\},$$ donde $$A_n=\{1,2,\ldots,n\},\ \ B_n=\{n,n+1,\ldots\}.$$ Nos preguntamos si $({\mathbb N},\tau_1)$ es homeomorfo a $({\mathbb N},\tau_2)$.  Tenemos varias formas de probar que no lo son. Pero si atendemos primero a la cardinalidad, observemos que en ambos espacios topológicos, el conjunto es el mismo, a saber, ${\mathbb N}$, luego tiene el mismo cardinal. Por otro lado, observemos también que el cardinal de $\tau_1$ es el mismo que el de $\tau_2$: ambos son numerables. Por tanto, no nos sirve.

Sin embargo, $\tau_1$ tiene sólo un conjunto que es infinito, el propio ${\mathbb N}$. Sin embargo, en $\tau_2$ todos los abiertos son infinitos (excepto $\emptyset$). Por tanto no pueden ser homeomorfos.

Otras forma de probar que no son homeomorfos es usando bases de entornos. Ya se probó que una base de entornos de $n\in {\mathbb N}$ en $\tau_i$ era: $$\beta_n^1=\{A_n\},\ \ \beta_n^2=\{B_n\}.$$ Aquí no podemos razonar por la cardinalidad de las bases, ya que ambas tienen un único elemento.  Podríamos pensar que si $f$ es un homeomorfismo entre $({\mathbb N},\tau_1)$ y ${\mathbb N},\tau_2)$, entonces $f(\beta_n^1)$ es base de entornos de $n$ en $({\mathbb N},\tau_2)$ y como $A_n$ es finito, $B_n$ lo tendría que ser: como no lo es, ya habríamos concluido. El error está en que no sabemos que $f(n)$ es $n$.

Sin embargo, $f(\beta_n^1)$ sería base de entornos de $f(n)$. En particular, el único entorno de $f(\beta_n^1)$ tendría que ser finito. Antes de continuar, observemos que $f(\beta_n^1)$ no tiene porqué ser $\beta_{f(n)}^2$ ya que en $({\mathbb N},\tau_2)$ hay muchas bases de entornos. La clave está en que cualquier entorno de $f(n)$ tiene que ser un conjunto infinito, pues debe contener dentro a $B_{f(n)}$. Como $f(A_n)$ es finito, hemos probado definitivamente que los espacios no son homeomorfos.

Subconjuntos homeomorfos al espacio ambiente (II)

Si seguimos con al entrada anterior, planteamos el mismo problema pero en dimensión 2. Pregunta: ¿existen subconjuntos $A$ de ${\mathbb S}^2$ homeomorfos a ${\mathbb S}^2$?

Con el mismo razonamiento que se hizo para ${\mathbb S}^1$, el conjunto $A$ sería homeomorfo a un conjunto conexo y compacto de ${\mathbb R}^2$. Ya puede darse uno cuenta que el problema no es tan fácil de resolver como el problema planteado en la entrada anterior para la circunferencia ${\mathbb S}^1$.

Podemos poner ejemplos particulares de subconjuntos $A$, como $A={\mathbb S}^1$. Ya se vio en clase, usando conexión, que ${\mathbb S}^1$ no es homeomorfo a ${\mathbb S}^2$.

Os dejo como ejercicio si es posible probar, usando las herramientas del temario de la asignatura, que el disco $A=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:x^2+y^2\leq 1\}$  no es homeomorfo a ${\mathbb S}^2$.

Tres espacios no homeomorfos entre sí

En el examen de febrero pregunté por tres espacios que no son  homeomorfos entre sí. Dichos espacios son subconjuntos del plano euclídeo: $A=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:x^2+y^2\leq 1\}$,  $B=A-\{(1,0)\}$ y $C={\mathbb S}^1$. Se preguntaba que cualquier par de dichos espacios no son homeomorfos. Para ello se usa conexión y compacidad.

1. $A$ es compacto por ser cerrado y acotado. Es cerrado ya que $A=f^{-1}([0,1])$ donde $f:{\mathbb R}^2\rightarrow{\mathbb R}$ es la aplicación continua $f(x,y)=x^2+y^2$.
2. $B$ no es compacto ya que no es cerrado, pues su adherencia es $A$: toda bola centrada en $(1,0)$ interseca a $B$.
3. $C$ es compacto por ser acotado y cerrado: es cerrado ya que $C=f^{-1}(\{1\})$.

Por tanto, sólo queda distinguir $A$ de $C$. Supongamos que $\phi:A\rightarrow {\mathbb S}^{-1}$ es un homeomorfismo. Entonces si $p,q\in A$, $A-\{p,q\}\cong {\mathbb S}^{-1}-\{\phi(p),\phi(q)\}$. Por un lado, ${\mathbb S}^{-1}-\{\phi(p),\phi(q)\}$ no es conexo, ya que ${\mathbb S}^1-\{\phi(p)\}$ es homeomorfo a ${\mathbb R}$, luego al quitarle otro punto, no es conexo. Sin embargo $A-\{p,q\}$ es conexo. Para ello hay varios razonamientos, pero si tomamos $p,q$ en el borde de $A$, por ejemplo, $p=(1,0)$ y $q=-p$, entonces $A-\{p,q\}$ es un conjunto convexo y por tanto, es conexo.

Deformando con un dedo

Siempre decimos que las 'deformaciones' de los objetos, como si fueran plastilina, son homeomorfismos. Se me ha ocurrido hacer una deformación con un dedo de una recta. Tomo la recta $X$ del plano de ecuación $y=0$ y sea $Y$ el siguiente conjunto $$Y=({\mathbb R}-[-1,1])\times\{0\})\cup \{(x,y);x^2+y^2=1,y\leq 0\}.$$ El conjunto $Y$ es como si empujáramos $X$ con un dedo en el intervalo $[-1,1]$ y lo deformáramos en la parte de abajo de la circunferencia ${\mathbb S}^1$. Veamos que son homeomorfos. Evidentemente, el homeomorfismo $f:X\rightarrow Y$ es la deformación del dedo, es decir, $$f(x,0)=\left\{\begin{array}{cc}(x,0) & x\not\in [-1,1]\\ (x,-\sqrt{1-x^2}) & x\in [-1,1]\end{array}\right.$$ Es evidente que $f$ es un homeomorfismo (dejo los detalles). La clave es que si llamamos $A$ y $B$ a cada uno de los dos conjuntos de $Y$, entonces $A\subset X$. Y $B$ es el grafo de la función $-\sqrt{1-x^2}$ definida en $[-1,1]$, y este intervalo es homeomorfo a $X-A$.

Bolas en espacios euclídeos (de nuevo)

Ya se ha comentado varias veces la 'diferencia' entre las bolas de ${\mathbb R}^n$  y las bolas en otros espacios métricos. Aquí, y a cuento de los homeomorfismos, ponemos otro ejemplo más.

Una bola de ${\mathbb R}^n$ es homeomorfa a ${\mathbb R}^n$. Para ello basta 'estirar' la bola lo suficiente hasta rellenar todo el espacio. Por ejemplo, si consideramos la bola  $B_1(O)$ centrada en el origen y de radio $1$, entonces cada segmento que sale desde el origen hasta tocar el borde de la bola lo estiramos hasta convertirlo en la semirrecta que sale del origen y con la misma dirección. El homeomorfismo explícito ya salido varias veces y no vamos ahora a repetirlo, pero sí indicar que para poder 'estirar' necesitamos 'atravesar' todo el espacio, o dicho de otro modo, es clave la estructura afín que tiene ${\mathbb R}^n$.

Porque si vamos a otro espacio métrico, esto no es tan claro. Y vamos a considerar como espacio métrico, subconjuntos de ${\mathbb R}^n$ con la distancia euclídea. Así por ejemplo,

1. Si consideramos ${\mathbb Z}^n\subset {\mathbb R}^n$ y tomamos $p=0$ y $r=1$, la bola $B_1(0)=\{0\}$, que no es homeomorfa a ${\mathbb Z}^n$ (no es biyectiva).
2. Si consideramos $X=[0,1]\cup \{3\}$ y la bola $B_2(0)$, tampoco es homeomorfa a $X$ (ni tampoco a ${\mathbb R}^n$)
3. En el mismo ejemplo anterior, la bola $B_1(0)$ tampoco es homeomorfa a $X$, ni a $B_2(0)$ ni a ${\mathbb R}^n$.

Sobre la entrada de ayer

En la entrada anterior dije que era posible establecer un homeomorfismo de $(0,1)$ en sí mismo que me llevara $x_0\in (0,1)$ en $1/2$. Me quedé un poco parado ayer pensando si era cierto o no, pero sí es posible hacerlo. Si imaginamos el intervalo $(0,1)$ como un trozo de goma, o de plastilina, es claro que uno podría 'estirar' más de un lado que de otro hasta llevar $x_0$ en $1/2$ (o donde uno quiera).

Concretamente, el ejercicio es: sean $x,y\in(0,1)$. Entonces existe un homeomorfismo $f:(0,1)\rightarrow (0,1)$ tal que $f(x)=y$. Para ello, se considera los intervalos $(0,x]$ y $(0,y]$. Se sabe de clase que son homeomorfos y además, es posible tomar el homeomorfismo $g:(0,x)\rightarrow (0,y)$ tal que $g(x)=y$: basta con tomar $g(t)=yt/x$. Del mismo modo, sea $h:[x,1)\rightarrow [y,1)$ otro homeomorfismo con $h(x)=y$.

El homeomorfismo $f$ que se busca se define a trozos como: $f(t)=g(t)$ si $t\in (0,x]$ y $f(t)=h(t)$ si $t\in [x,1)$. Obsérvese que los conjuntos $(0,x]$ y $[x,1)$ son ambos conjuntos cerrados en $(0,1)$; también que $f$ está bien definida en $t=x$ ya que $g(x)=h(x)=y$; y por supuesto, que $f(x)=y$.

Probar que no son homeomorfos

Ya hemos insistido que para probar que no dos espacios topológicos no son homeomorfos, hay que encontrar invariantes topológicos que satisfaga un espacio y no el otro. Pero uno podría pensar que otra forma sería probar directamente que no existen homeomorfismos entre un espacio y otro.

Me he planteado, en un caso sencillo, esta cuestión y no veo que sea fácil hacerlo sin echar de mano del concepto de invariante topológico. Por ejemplo, cojamos $X=[0,1)$ e $Y=(0,1)$. La idea es, por reducción al absurdo, suponer que existe un homeomorfismo $f:X\rightarrow Y$ y llegar a una contradicción. Sabemos que el invariante topológico que se usa aquí para probar que no son homeomorfos es la conexión, pero ¿se podría llegar a una contradicción trabajando directamente con $f$? Es claro a raíz del argumento con conexión, que uno tiene que focalizar el trabajo entre $x=0$ y su imagen mediante $f$.

Sea $x_0=f(0)$, el cual sabemos que satisface $01/2$ y $g(y_n)\rightarrow 0$. Si supiéramos que $g$ es creciente, entonces llegaríamos a una contradicción.

Y aquí me quedo...

Homeomorfismo de un espacio en un subconjunto

Sabemos que ${\mathbb R}$ es homeomorfo al intervalo $(0,1)$, que es un subconjunto suyo. Esta propiedad no es única de la recta euclídea, y podemos ver otros espacios topológicos con dicha propiedad.

En ${\mathbb R}$ consideramos la topología discreta y sea $X$ el conjunto de los irracionales también con la topología discreta. Ya que ${\mathbb R}$ y $X$ son biyectivos, la misma biyección es un homeomorfismo.

En ${\mathbb N}$ tomamos la topología de los complementos finitos y sea $X$ el conjunto de los números pares con la topología relativa, que es de nuevo, la topología de los complementos finitos. Entonces cualquier biyección entre ${\mathbb N}$ y $X$ es un homeomorfismo.

Consideramos ${\mathbb Z}$ con la topología trivial, y ${\mathbb N}$ con la topología relativa, que también es la topología trivial. Entonces cualquier aplicación biyectiva entre ${\mathbb Z}$ y ${\mathbb N}$ es un homeomorfismo.

Sea ${\mathbb R}$ con la topología de los complementos finitos y sea $X=(0,\infty)$ con la topología relativa. Entonces la aplicación $f(x)=e^x$ es un homeomorfismo entre ${\mathbb R}$ y $(0,\infty)$ ya que es una aplicación creciente.

Homeomorfismo entre intervalos

Cuando se ha establecido en clase un homeomorfismo entre un intervalo $(a,b)$ y $(c,d)$ se ha hecho usando homotecias y traslaciones, es decir, usando una aplicación del tipo $f(x)=mx+n$. Si pensamos que estamos 'estirando' el intervalo $(a,b)$ para convertirlo en $(c,d)$, el estiramiento se hace de forma proporcional. Sin embargo no es la única forma de hacerlo en el sentido de que podemos ir estirando más de un lado que por otro. Por ejemplo, consideramos la aplicación $f(x)=x^3$. Entonces $f$ es un homeomorfismo entre ${\mathbb R}$ y ${\mathbb R}$. Si tomamos el intervalo $(-1,1)$, la imagen mediante $f$ es $(-1,1)$. Estamos estirando el intervalo $(-1,1)$ en sí mismo ¡y no es la identidad!

Otro ejemplo es considerar $f(x)=x^2$. Esta aplicación no es un homeomorfismo de ${\mathbb R}$ en ${\mathbb R}$, pero sí de $[0,\infty)$ en $[0,\infty)$. Mediante esta aplicación, el intervalo $[0,3]$ se lleva en $[0,9]$. Puede uno comparar este homeomorfismo con $g(x)=3x$, que también lleva $[0,3]$ en $[0,9]$.

Finalmente, y como se dijo en clase, uno también podría considerar la aplicación $f(x)=\sin(x)$, que es un homeomorfimos entre $(-\pi/2,\pi/2)$ en $(-1,1)$.

Un ejercicio sobre homeomorfismos

Os dejo aquí un pequeño ejercicio sobre homeomorfismo. Probar que el $X=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=1\}$ no es homeomorfo al cono $Y=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z\geq 0\}$.

Y probar que el interior del cilindro, $A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2<1\}$ sí es homeomorfo al interior del cono $B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2 < z^2, z\geq 0\}$.

Sobre homeomorfismos entre parejas de circunferencias

¿Dos anillos entrelazados son homemorfos a dos anillos no entrelazados?

Éste es el ejercicio que os dejo. Sea $X=A\cup B$, donde $A=\{(x,y,0);x^2+y^2=1\}$ y $B=\{(0,y,z);(y-1)^2+z^1\}$. El conjunto $A$ es un círculo de radio 1 en el plano $z=0$ y $B$ es otro del mismo radio pero en el plano $x=0$ y centro $(0,1,0)$.

Sea $Y=A\cup C$, donde $C=\{(x,y,0);(x-3)^2+y^2=1\}$, que es un círculo de radio 1 y centro $(3,0,0)$.

Fijaros que los círculos $A$ y $B$ están entrelazados, no así $A$ y $C$.

¿Existe un homeomorfismo entre $X$ e $Y$? Si es así, decir cómo se construye. Si es que no, razonar porqué.

Topología en un espacio vectorial

Como ya os habréis dado cuenta, desde hace más de un mes, no ha habido más entradas en el blog porque las clases de la asignatura acabaron a finales de enero. Como ya he escrito varias veces, este blog es un blog de la asignatura y con la finalización del curso también 'finaliza' el blog hasta el curso próximo (alrededores de finales de septiembre de 2012).

De todas formas, intentaré ir publicando de vez en cuando.

También hago una invitación a que cualquier persona que quiera publicar algo (siguiendo el espíritu del blog), no tiene nada más que enviarme el texto y yo lo escribo directamente en el blog. Y por supuesto, haré referencias a quién es el autor de la entrada.

En esta entrada voy a proponeros un ejercicio muy interesante que me dijo hace unos días el profesor Alfonso Romero.

Consideramos un espacio vectorial real $V$ de dimensión $n$, y sea $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ una base del mismo. Se considera el isomorfismo de espacios vectoriales $f:\mathbb{R}^n\rightarrow V$ dado por
$$f(x_1,\ldots,x_n)=x_1 e_1+\ldots+x_n e_n.$$
Justamente la inversa de $f$ es la aplicación que me lleva todo vector de $V$ en sus coordenadas respecto de la base $B$.

Consideramos en $\mathbb{R}^n$ la topología usual $\tau_u$ y en $V$ consideramos la única topología $\tau_B$ que hace que $f_B:(\mathbb{R}^n,\tau_u)\rightarrow (V,\tau_B)$ sea un homeomorfismo.

Nos preguntamos qué pasa si en vez de tomar la base $B$ tomamos otra. Así, si $B'$ es otra base de $V$, tendríamos otro isomorfismo $f_{B'}$ de espacios vectoriales entre $\mathbb{R}^n$ y $V$ y otra topología $\tau_{B'}$ en $V$.

El ejercicio consiste en probar que $\tau_B=\tau_{B'}$.

Sobre homeomorfismos

Un comentario de la entrada anterior motiva ésta. Cuando se dice que un conjunto es abierto (o cerrado), está diciendo 'Un conjunto $A\subset X$ es abierto en el espacio topológico $(X,\tau)$ si...', es decir, un conjunto es abierto en.

 

El intervalo $(0,1)$ es homeomorfo a $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}$ es homeomorfo a $\mathbb{R}\times\{0\}\subset\mathbb{R}^2$. Por otro lado:

1. El intervalo $(0,1)$ es abierto en $\mathbb{R}$ y no es cerrado.
2. El conjunto $\mathbb{R}$ es abierto y cerrado en $\mathbb{R}$.
3. El conjunto $\mathbb{R}\times\{0\}$, es decir, el eje de abcisas, es un conjunto cerrado en $\mathbb{R}^2$ y no es abierto.

Creo que estos ejemplos aclaran un poco la cuestión planteada al principio. Y por supuesto, no tiene nada que ver con el hecho de ser o no ser homeomorfos a....

Casi un homeomorfismo (II)

Este post está motivado por el comentario de Daniel en la anterior entrada.

Otro ejemplo de una aplicación biyectiva entre dos espacios topológicos que es continua pero no es homeomorfismo es el siguiente ejemplo 'simple'. Sea $X$ un conjunto con dos topologías distintas $\tau_1$ y $\tau_2$ tal que $\tau_1\subset\tau_2$. Consideramos la aplicación identidad:
$$1_X:(X,\tau_2)\rightarrow (X,\tau_1).$$
Esta aplicación es biyectiva y continua porque $\tau_1$ es menos fina que $\tau_2$. Sin embargo, la aplicación no es un homeomorfismo pues entonces se tendría $\tau_1=\tau_2$.