De nuevo esta entrada tiene que ver con la frontera de un conjunto y con una propiedad que tiene el interior y la adherencia de un conjunto. Se sabe que en un espacio topológico (X,\tau), si A\subset B\subset X entonces int(A)\subset int(B). La pregunta que propongo es si es cierto la propiedad análoga para la frontera, es decir, si Fr(A)\subset Fr(B).
Y si no es cierta esta inclusión, buscar alguna relación entre las dos fronteras, si la hubiera, claro.
Pongo un pequeño ejemplito en la topología usual de R. Si A=(0,1) y B=[0,1]. Entonces Fr(A)=Fr(B), luego aquí se da la inclusión. Y lo mismo, si cambiamos A por A=\{0,1\}.
Y si no es cierta esta inclusión, buscar alguna relación entre las dos fronteras, si la hubiera, claro.
Pongo un pequeño ejemplito en la topología usual de R. Si A=(0,1) y B=[0,1]. Entonces Fr(A)=Fr(B), luego aquí se da la inclusión. Y lo mismo, si cambiamos A por A=\{0,1\}.
1) Si A \subset B entonces Fr(A) no necesariamente está contenido en Fr(B). Contraejemplo: sea \mathbb{R} con su topología usual y A=\mathbb{Q}, B=\mathbb{R}. Entonces por un lado Fr(A)=\mathbb{R} y por otro lado Fr(B)=\emptyset.
ResponderEliminar2) Si A \subset B entonces Fr(B) no necesariamente está contenido en Fr(A). Contraejemplo: sea \mathbb{R} con la topología cofinita. Entonces se puede verificar que cualquier conjunto infinito es denso en esta topología y claramente los conjuntos finitos son cerrados. Luego sea A =\{0,1\} y B=[0,1] entonces Fr(A)=\{0,1\} mientras que Fr(B)=\mathbb{R}.
Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
ResponderEliminarEste comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
ResponderEliminarSi A \subset B entonces Fr(B) no necesariamente está contenido en Fr(A). Contraejemplo: sea \mathbb{R} con la topología cofinita. Se puede verificar que cualquier conjunto infinito es denso en esta topología y claramente los conjuntos finitos son cerrados. Luego sea A=\{0,1\} y B=[0,1] entonces Fr(A)=\{0,1\} mientras que Fr(B)=\mathbb{R}. Otro ejemplo sería tomar \mathbb{R} pero ahora con topología usual y A=[0,1], B=[0,2]. Una relación que se tiene es cuando A y B son conjuntos separados, es decir: si (X,\tau) es un espacio topológico, A,B subconjuntos de X tales que \overline{A} \cap B = A \cap \overline{B} = \emptyset entonces Fr(A \cup B)=Fr(A) \cup Fr(B).
ResponderEliminarSi A \subset B entonces Fr(A) no necesariamente está contenido en Fr(B). Contraejemplo: sea \mathbb{R} con su topología usual y sean A=\mathbb{Q}, B=\mathbb{R}. Entonces por un lado Fr(A)=\mathbb{R} y por otro lado Fr(B)=\emptyset.
ResponderEliminarPor otro lado, si A \subset B entonces Fr(B) no necesariamente está contenido en Fr(A). Contraejemplo: sea \mathbb{R} con la topología cofinita. Se puede verificar que cualquier conjunto infinito es denso en esta topología y claramente los conjuntos finitos son cerrados. Luego sean A=\{0,1\} y B=[0,1] entonces Fr(A)=\{0,1\} mientras que Fr(B)=\mathbb{R}. Otro ejemplo sería tomar \mathbb{R} pero ahora con su topología usual y A=[0,1], B=[0,2].
Una relación que se tiene es cuando A y B son conjuntos separados, es decir: si (X,\tau) es un espacio topológico, y A,B son subconjuntos de X tales que \overline{A} \cap B = A \cap \overline{B}=\emptyset, entonces $Fr(A \cup B)=Fr(A) \cup Fr(B).
Si A \subset B entonces Fr(A) no necesariamente está contenido en Fr(B). Contraejemplo: sea \mathbb{R} con su topología usual y sean A=\mathbb{Q}, B=\mathbb{R}. Entonces por un lado Fr(A)=\mathbb{R} y por otro lado Fr(B)=\emptyset.
ResponderEliminarTampoco se tiene inclusión en el sentido contrario, es decir: si A \subset B entonces Fr(B) no necesariamente está contenido en Fr(A). Contraejemplo: sea \mathbb{R} con la topología cofinita. Se puede verificar que cualquier conjunto infinito es denso en esta topología y claramente los conjuntos finitos son cerrados. Luego sean A=\{0,1\} y B=[0,1] entonces Fr(A)=A mientras que Fr(B)=\mathbb{R}. Otro ejemplo sería tomar \mathbb{R} pero ahora con topología usual y A=[0,1], B=[0,2].
Una relación que se tiene es cuando A y B son conjuntos separados, es decir: si (X,\tau) es un espacio topológico, y A,B son subconjuntos de X tales que \overline{A} \cap B = A \cap \overline{B} = \emptyset, entonces Fr(A \cup B)=Fr(A) \cup Fr(B).