Os dejo aquí un pequeño ejercicio sobre homeomorfismo. Probar que el $X=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=1\}$ no es homeomorfo al cono $Y=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z\geq 0\}$.
Y probar que el interior del cilindro, $A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2<1\}$ sí es homeomorfo al interior del cono $B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2 < z^2, z\geq 0\}$.
Y probar que el interior del cilindro, $A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2<1\}$ sí es homeomorfo al interior del cono $B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2 < z^2, z\geq 0\}$.
Si se le quita el punto (0,0,0) a Y, el conjunto resultante no es conexo.
ResponderEliminarLa función
(x,y,z) |--> (x/z,y/z,z)
es un homeomorfismo entre B y A.
Para la segunda parte: será un homeomorfismo entre B y una parte de A.
ResponderEliminarHola.
ResponderEliminarMe llamo Miguel y estudio el grado de matemáticas en la uned. Nosotros hemos definido el homomorfismo como aquella aplicación que conserva la operación en el conjunto inicial y final: f(a+b) = f(a) + f(b) Me gustaría preguntarte si esta definición es equivalente a la tuya: aplicación contínua e inversa contínua.
Muchas gracias y un saludo.
No. Cuando hablas de homomorfismos probablemente será "homomorfismo de grupos", es decir, una aplicación entre dos grupos con la propiedad que dices. Un homeomorfismo es una aplicación entre dos espacios topológicos, biyectiva y bi-continua. En definitiva, cosas totalmente diferentes. Tu aplicación se encuentra en el campo de 'grupos ', pero no en 'espacios topológicos'
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