Continuando con la entrada anterior, una forma de tener aplicaciones sobreyectivas, continuas y cerradas (y por tanto, identificaciones) es tomar aplicaciones continuas cuyo dominio es compacto y que llegue a un espacio Hausdorff. Restringiendo el codominio a la imagen de la aplicación, ésta se hace sobreyectiva.
Tomamos f:{\mathbb S}^2\rightarrow{\mathbb R}^2 la proyección ortogonal f(x,y,z)=(x,y). Entonces f({\mathbb S}^2)={\mathbb D}^2=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2: x^2+y^2\leq 1\}. Entonces
\frac{{\mathbb S}^2}{R_f}\cong {\mathbb D}^2.
Sólo queda escribir la relación R_f. Se tiene (x,y,z)R_f(x',y',z') si y sólo si x=x', y=y'. Pero como x^2+y^2+z^2=x'^2+y'^2+z'^2=1, esto es equivalente a decir que z^2=z'^2, es decir, z'=\pm z. Por tanto, la relación R_f es
(x,y,z)R_f(x',y',z') \Leftrightarrow z'=\pm z.
Tomamos f:{\mathbb S}^2\rightarrow{\mathbb R}^2 la proyección ortogonal f(x,y,z)=(x,y). Entonces f({\mathbb S}^2)={\mathbb D}^2=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2: x^2+y^2\leq 1\}. Entonces
\frac{{\mathbb S}^2}{R_f}\cong {\mathbb D}^2.
Sólo queda escribir la relación R_f. Se tiene (x,y,z)R_f(x',y',z') si y sólo si x=x', y=y'. Pero como x^2+y^2+z^2=x'^2+y'^2+z'^2=1, esto es equivalente a decir que z^2=z'^2, es decir, z'=\pm z. Por tanto, la relación R_f es
(x,y,z)R_f(x',y',z') \Leftrightarrow z'=\pm z.
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