Más sobre las proyecciones

Las aplicaciones sobreyectivas, continuas y abiertas son identificaciones, por tanto, inducen ciertos homeomorfismos en un espacio cociente. Como ejemplo de estas aplicaciones tenemos las proyecciones en un producto topológicos.

Sea $(X\times Y,\tau\times\tau')$ un espacio producto y consideramos $p:X\times Y\rightarrow X$ la proyección $p(x,y)=x$. Esta aplicación es continua, sobreyectiva y abierta, luego es una identificación y así se tiene:
$$\frac{X\times Y}{R_p}\cong (X,\tau).$$
La relación $R_p$ está dada por $(x_1,y_1)R_p(x_2,y_2)$ si $p(x_1,y_1)=p(x_2,y_2)$. Luego $(x_1,y_1)R_p(x_2,y_2)$ si $x_1=x_2$. Por tanto, la clase de equivalencia de $(x,y)$ es
$$[(x_1,y_1)]=\{(x_1,y)\in X\times Y:y\in Y\}=\{x_1\}\times Y.$$
Conjuntistamente, el conjunto cociente $X\times Y/R_p$ tiene tantos elementos como tiene $X$. Y topológicamente, son homeomorfos, como ya hemos visto.