Topología de los complementos finitos

En esta entrada generalizamos, en cierto sentido, la construcción de la topología usual de ${\mathbb R}^2$. Recordemos que la topología usual de ${\mathbb R}$ es la que tiene por base los intervalos abiertos y en ${\mathbb R}^2$, la que tiene por base el producto cartesiano de intervalos abiertos: $$\{(a,b)\times (c,d): a < b, c < d, a, b, c, d\in{\mathbb R}\}.$$ Hacemos algo parecido con la topología cofinita o de los complementos finitos. En ${\mathbb R}$ denotamos la topología cofinita por $\tau_{CF}$ y en ${\mathbb R}^2$ y consideramos la familia de subconjuntos de ${\mathbb R}^2$ dada por $$\beta=\{O\times O': O, O'\in\tau_{CF}\}.$$ Se deja como ejercicio probar que $\beta$ es base de una topología en ${\mathbb R}^2$ y que denotamos por $\tau$. Por otro lado, ${\mathbb R}^2$ tiene también su topología cofinita, que denotamos por $\tau'$, es decir, los abiertos son los conjuntos que son complementarios de los conjuntos finitos de ${\mathbb R}^2$.
La pregunta que nos hacemos es qué relación tiene $\tau$ con $\tau'$ (si la hubiera). Por ejemplo, ${\mathbb R}^2-\{(0,0)\}$ es un abierto en $\tau'$ ¿pertenece a $\tau$? ¿Y qué sucede con el conjunto ${\mathbb R}^2-\{(x,0):x\in{\mathbb R}\}$?

Un nuevo espacio topológico

Una manera simple de construir topologías a partir de otras es la siguiente. Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico. Supongamos que $X$ es un subconjunto de otro conjunto más grande $Y$.

En $Y$ se construye una topología que no es más que añadir a $\tau$ el conjunto $Y$, es decir,
$$\tau'=\tau\cup\{Y\}$$ es una topología en $Y$.

Observemos:

1. Los conjuntos cerrados de $(X,\tau)$ no coinciden con los de $(Y,\tau')$. En verdad, casi ninguno. ¿Cuántos? 
2. Si $\beta$ es una base de $(X,\tau)$, $\beta$ no es base de $(Y,\tau')$. ¿Y al revés?

Construyendo bases

Dado un conjunto y $\beta$ una familia de subconjuntos, las dos propiedades que tiene que satisfacer $\beta$ para que sea base de una topología en $X$ es que $X$ sea unión de elementos de $\beta$ y la segunda es que para todo $B_1, B_2\in\beta$ y $x\in B_1\cap B_2$, existe $B_3\in\beta$ tal que $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$.

Una manera de usar este resultado para construir topologías es encontrar una familia de subconjuntos $\beta$ donde la intersección de dos elementos de $\beta$ sea otro elemento de $\beta$. Así se toma en la segunda propiedad $B_3$ como la propia intersección. Esto nos permitió definir la topología usual y la topología de Sorgenfrey en $\mathbb{R}$.

Otra forma de conseguir la segunda propiedad es que la intersección de dos elementos de $\beta$ sea vacía, y por tanto, se satisface inmediatamente. Como conclusión tenemos:

Teorema: Si $\beta$ es una familia de subconjuntos de $X$ tal que $X$ es unión de elementos de $\beta$ y la intersección de dos elementos cualesquiera sea vacía, entonces $\beta$ es base de una topología.

Como ejemplo, si en un conjunto $X$ tomamos la partición $\beta=\{\{x\}: x\in X\}$, entonces se genera una topología. No es difícil probar que dicha topología es la topología discreta de $X$.

Otro ejemplo es en $\mathbb{R}$ tomar la partición
$$\beta=\{[n,n+1): n\in{\mathbb N}\}.$$

Retomamos pronto las clases

Después de esta larga interrupción desde que acabara la asignatura el curso pasado, dentro de algo más de una semana empezaremos de nuevo el curso académico. Esta es la oportunidad de hacer de nuevo la invitación a los estudiantes a realizar entradas en el blog. Aparte de los alumnos que tengo en el grupo 2º-B del grado en matemáticas, invito especialmente a todos aquéllos que tienen la misma asignatura:

1. Alumnos del grupo 2º-A del grado en matemáticas. 
2. Alumnos de segundo curso del doble grado en ingeniería informática y matemáticas. 

Y por supuesto, al resto de las personas que leen este blog, por ejemplo, alumnos de matemáticas de universidades españolas, ya que los temarios son parecidos a los de la UGR. 

 

Recordar que este blog gira en torno los conceptos básicos de topología general, los cuales se imparten en la primera asignatura sobre topología que se imparte en el grado.