Dado un conjunto y \beta una familia de subconjuntos, las dos propiedades que tiene que satisfacer \beta para que sea base de una topología en X es que X sea unión de elementos de \beta y la segunda es que para todo B_1, B_2\in\beta y x\in B_1\cap B_2, existe B_3\in\beta tal que x\in B_3\subset B_1\cap B_2.
Una manera de usar este resultado para construir topologías es encontrar una familia de subconjuntos \beta donde la intersección de dos elementos de \beta sea otro elemento de \beta. Así se toma en la segunda propiedad B_3 como la propia intersección. Esto nos permitió definir la topología usual y la topología de Sorgenfrey en \mathbb{R}.
Otra forma de conseguir la segunda propiedad es que la intersección de dos elementos de \beta sea vacía, y por tanto, se satisface inmediatamente. Como conclusión tenemos:
Teorema: Si \beta es una familia de subconjuntos de X tal que X es unión de elementos de \beta y la intersección de dos elementos cualesquiera sea vacía, entonces \beta es base de una topología.
Como ejemplo, si en un conjunto X tomamos la partición \beta=\{\{x\}: x\in X\}, entonces se genera una topología. No es difícil probar que dicha topología es la topología discreta de X.
Otro ejemplo es en \mathbb{R} tomar la partición
\beta=\{[n,n+1): n\in{\mathbb N}\}.
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