domingo, 29 de septiembre de 2013

Topología de los complementos finitos

En esta entrada generalizamos, en cierto sentido, la construcción de la topología usual de ${\mathbb R}^2$. Recordemos que la topología usual de ${\mathbb R}$ es la que tiene por base los intervalos abiertos y en ${\mathbb R}^2$, la que tiene por base el producto cartesiano de intervalos abiertos: $$\{(a,b)\times (c,d): a < b, c < d, a, b, c, d\in{\mathbb R}\}.$$Hacemos algo parecido con la topología cofinita o de los complementos finitos. En ${\mathbb R}$ denotamos la topología cofinita por $\tau_{CF}$ y en ${\mathbb R}^2$ y consideramos la familia de subconjuntos de ${\mathbb R}^2$ dada por $$\beta=\{O\times O': O, O'\in\tau_{CF}\}.$$Se deja como ejercicio probar que $\beta$ es base de una topología en ${\mathbb R}^2$ y que denotamos por $\tau$. Por otro lado, ${\mathbb R}^2$ tiene también su topología cofinita, que denotamos por $\tau'$, es decir, los abiertos son los conjuntos que son complementarios de los conjuntos finitos de ${\mathbb R}^2$.
La pregunta que nos hacemos es qué relación tiene $\tau$ con $\tau'$ (si la hubiera). Por ejemplo, ${\mathbb R}^2-\{(0,0)\}$ es un abierto en $\tau'$ ¿pertenece a $\tau$? ¿Y qué sucede con el conjunto ${\mathbb R}^2-\{(x,0):x\in{\mathbb R}\}$?

6 comentarios:

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    1. ¿Imaginarse? (lo mismo podrías pensar con la topología euclídea de R) Tomamos R. Los abiertos en la topología de los complementos finitos son los conjuntos que son complementarios de un número finito de puntos. Por tanto, los abiertos son 'muy grandes', en verdad, "todo R, excepto un número finito de puntos". Si pensamos en los entornos de un punto, y como entre el entorno y el punto tiene que haber un abierto, entonces los entornos de un punto x son conjuntos que contienen a x y son complementarios de conjuntos finitos. En particular, "dos entornos de dos puntos distintos siempre se intersecan", cosa que no pasa con la topología usual. Para mostrar que los entornos son 'muy grandes', veamos qué sucede con la convergencia de sucesiones. Tomamos la sucesión $\{n\}_{n\in N}$. Entonces converge a... ¡cualquier punto!. Efectivamente, si x es un número real, entonces todo entorno U de x es R menos un número finito de puntos, luego U interseca a la sucesión a partir de cualquier lugar. En particular, esta sucesión tiene ¡infinitos límites! Para resumir, la topología de los complementos finitos, como muchas otras, no es fácil de imaginarse, pero no quita que no podamos trabajar con ella. El hecho de que sea una topología no Haussdorf, provoca cosas extrañas, como antes con la convergencia de sucesiones.

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  2. Sabemos que un espacio X con dicha topología es conexo (si admitimos que existe un subcojunto A distinto del vacío y el total, el cual sea cerrado y abierto a la vez, llegamos a la contradicción de que X es finito...).
    Pero me pregunto ¿será localmente conexo?.

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  3. Todo subconjunto hereda la topología de los complementos finitos, es decir, si $A\subset X$, entonces $\tau_A$= topología de los complementos finitos {\it de} $A$. Por tanto, todo entorno es conexo, y así el espacio es localmente conexo.

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  4. En la topología de los complementos finitos sobre R ¿a que punto o puntos comverge la sucesión Xn=1/n ?

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  5. Como $\tau_{CF}\subset\tau_u$, entonces si $\{x_n\}\rightarrow x$ en $\tau_{u}$, entonces $\{x_n\}\rightarrow x$ en $\tau_{CF}$. Por tanto, en el caso dado, $x=0$ es un límite. Ahora habría que estudiar si hay más.

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