Funciones continuas a trozos

Hemos visto que una función $f:(X,\tau)\rightarrow (Y,\tau')$ tal que $X$ es unión de dos abiertos (o unión de dos cerrados), y en cada uno de los conjuntos es continua (con la topología relativa), entonces es continua. Nos preguntamos si se puede generalizar a una unión arbitraria. Así, consideramos $X=\cup_{i\in I}A_i$, donde $A_i\subset X$ es un abierto para todo $i\in I$. Supongamos que $f_{|A_i}:(A_i,\tau_{|A_i})\rightarrow Y$ es continua. Probamos entonces que $f$ es continua. La demostración sigue los mismos pasos que en el caso de dos abiertos. Así, si $O'\in\tau'$, entonces $$f^{-1}(O')=\bigcup_{i\in I}(f_{|A_i})^{-1}(O').$$ Como $(f_{|A_i})^{-1}(O')\in\tau_{|A_i}$ y $A_i$ es abierto en $X$, entonces $(f_{|A_i})^{-1}(O')\in\tau$. Por tanto $f^{-1}(O')\in\tau$ al ser unión de abiertos.

Si ahora suponemos que todos los $A_i$ son cerrados, el mismo razonamiento tomando $f^{-1}(F')$ no acaba la demostración, ya que tendríamos una unión arbitraria de cerrados, que no tiene porqué ser cerrado. Efectivamente, el resultado no es cierto. Así, tomamos una función $f:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$ que no sea continua, considerando en ${\mathbb R}$ la topología usual. Como cada punto $\{x\}$ es un cerrado en ${\mathbb R}$, y $f_{|\{x\}}:\{x\}\rightarrow {\mathbb R}$ es continua al ser constante, si fuera cierto el resultado, entonces $f$ sería continua, lo cual no es posible.