Las proyecciones del espacio euclídeo

Las aplicaciones proyecciones de ${\mathbb R}^{n}$ no tienen porqué ser continuas considerando topologías que no son las usuales. Ponemos varios ejemplos, tomando siempre $n=2$ y $p$ la proyección sobre el primer factor, $p(x,y)=x$.

1. $p:({\mathbb R}^2,\tau_T)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_u)$ no es continua pues $p^{-1}((0,1))=(0,1)\times {\mathbb R}$ que no es abierto en $\tau_T$ al no ser ${\mathbb R}^2$. 
2. Tomamos en ${\mathbb R}^2$ la topología punto incluido para el punto $(0,0)$. Entonces $p:({\mathbb R}^2,\tau_i)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_u)$ no es continua pues $p^{-1}((0,1))=(0,1)\times {\mathbb R}$ que no es abierto al no contener $(0,0)$.
3. Con la misma notación de antes, Entonces $p:({\mathbb R}^2,\tau_i)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_S)$ no es continua pues $p^{-1}([1,2))=[1,2)\times {\mathbb R}$  no es abierto al no contener $(0,0)$.
4. Tomamos en ${\mathbb R}^2$ la topología cofinita $\tau_{CF}$.  Entonces $p:({\mathbb R}^2,\tau_{CF})\rightarrow ({\mathbb R},\tau_S)$ no es continua pues $p^{-1}([0,1))=[0,1)\times {\mathbb R}$ no es abierto pues su complementario no es finito.