Cosiendo un cilindro

Siguiendo con la entrada anterior, tomamos ahora el cilindro ${\mathbb S}^1\times [0,\infty)$ y definimos en él la relación de equivalencia que me identifica todos los puntos de ${\mathbb S}^1\times \{0\}$. El cilindro nos lo podemos imaginar como un vaso de altura infinita. Lo que hacemos es coser la base del vaso y convertirla en un único punto.

El ejercicio consiste en probar que el espacio cociente del cilindro mediante esta relación de equivalencia es homeomorfo al cono (de helado) $\{(x,y,z)\in{\mathbb R}^3: x^2+y^2=z^2, z\geq 0\}$.

 

Cosiendo una corona circular para conseguir un toro

Consideramos la corona circular de radios $1$ y $2$, es decir, $$C=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: 1\leq x^2+y^2\leq4\}.$$ Vamos a coser los bordes de la corona para obtener un toro. Cuando estamos diciendo 'cose' nos estamos refiriendo, evidentemente, a definir un espacio cociente. Para ello, definimos la relación de equivalencia que identifica los puntos del borde que se son proporcionales (con proporción positiva), es decir: $$(x,y)R(x',y')\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll} \mbox{son iguales ó}\\ (x',y')=\lambda (x,y), \lambda\in\{1/2,2\}\end{array}\right.$$ Vemos el toro como el producto topológico ${\mathbb S}^1\times{\mathbb S}^1$. Para hallar la identificación, lo que hacemos es llevar el segmento de recta que une $(x,y)$ ($\sqrt{x^2+y^2}=1$) con $2(x,y)$ a una circunferencia de radio $1$. Os dejo los detalles.

Otra manera es pasando por un cilindro, que es homeomorfpo a una corona ...

La recta proyectiva

En el vídeo 

se puede ver una demostración de que la recta proyectiva es homeomorfa a la circunferencia ${\mathbb S}^1$.

Otra identificación: la figura del 8

Continuando con las identificaciones, ponemos otro ejemplo, sin que el espacio cociente sea 'conocido' de antemano. Para ello, consideramos la aplicación seno, $f:[0,2\pi]\rightarrow [-1,1]$, $f(x)=\sin(x)$. Esta aplicación es continua, sobreyectiva y cerrada, luego es una identificación. ¿Cuál es la relación $R_f$?

Si $xR_f y$, entonces $\sin(x)=\sin(y)$. Usando que $x,y\in [0,2\pi]$, esto ocurre sólo en dos casos: 1) si $x+y=\pi$, con $x,y\in [0,\pi]$; 2) $x+y=\pi$, con $x,y\in [\pi,2\pi]$. Si nos imaginamos la gráfica de la función seno, entre $0$ y $2\pi$, entonces podemos imaginarnos que el primer trozo, de $0$ a $\pi$, se identifica en $[0,\pi/2$], y lo mismo entre $\pi$ y $2\pi$ con $\pi$, $3\pi/2$, y además, los extremos de estos dos intervalos están relacionados. Por tanto, el cociente   va a ser la figura del ocho, '8'. Esta figura la podemos ver como dos circunferencias del mismo radio tangentes en un punto: $$Y={\mathbb S}^1(1,0)\cup{\mathbb S}^1(-1,0).$$ La dificultad ahora es encontrar la aplicación identificacion.

Definimos $g:[0,2\pi]\rightarrow Y$ como $$g(x)=\left\{\begin{array}{ll} (1,0)+(\cos(2 x+\pi),\sin(2 x+\pi)) & x\in [0,\pi]\\ (-1,0)+(\cos(2 x),\sin(2 x)) & x\in [\pi,2\pi] \end{array}\right.$$
Esta aplicación está bien definida ya que en $x=\pi$ coincide ambas expresiones (es el punto $(0,0)$); es continua ya que es continua en cada uno de los trozos y éstos son conjuntos cerrados de $[0,2\pi]$; y es sobreyectiva. Por tanto, es una identificación. Queda por probar que la relación $R_f$ es $R_g$, pero esto parece evidente.

Las identificaciones, identifican

Una identificación es casi un homeomorfismo. Concretamente, si $f:(X,\tau)\rightarrow (Y,\tau')$ es una identificación, entonces $\tau'=\tau(f):=\{O'\subset Y: f^{-1}(O')\in\tau\}$. Si $f$ fuera biyectiva, entonces esta igualdad equivale a decir que $f$ es un homeomorfismo.

En general, una identificación no es inyectiva, y por tanto, si $R_f$ es la relación de equivalencia asociada a $f$, el conjunto cociente $X/R_f$ no es trivial: si $f$ es biyectiva, entonces $X/R_f=X$, ya que $[x]=\{x\}$.

Justamente, por no ser inyectiva, el homeomorfismo $(X/R_f,\tau/R_f)\cong (Y,\tau')$ quiere decir que los puntos que tienen la misma imagen por $f$, se identifican en uno sólo en el cociente.

Consideramos un ejemplo de identificación (no inyectiva), y para ello, ponemos que el dominio sea un conjunto cerrado y acotado de un espacio euclídeo, lo que asegura que la aplicación sea cerrada. Sea, pues, $X=[0,2]$ y $f:[0,2]\rightarrow [1,2]$ definida por: $$f(x)=\left\{  \begin{array}{ll}1 & x\in [0,1] \\ x &x\in [1,2]\end{array}\right.$$ Es evidente que esta aplicación es continua y sobreyectiva (ver figura). Ya que $[0,2]$ es un conjunto cerrado y acotado de ${\mathbb R}$, entonces $f$ es cerrada, y por tanto, una identificación. Esto implica $$\frac{[0,2]}{R_f}\cong [1,2].$$ En la figura, el intervalo $[0,2]$, está pintando de azúl, y el codominio (homeomorfo al cociente), de rojo. La relación $R_f$ es la que identifica todos los puntos de $[0,1]$ en uno sólo, es decir, es como si pegáramos el intervalo $[0,1]$, subconjunto de $[0,2]$, en el punto $1$, y por tanto, nos queda $[1,2].