Continuidad en espacios productos

Vamos a estudiar la continuidad de una aplicación cuyo dominio es un espacio producto. Consideramos como dominio ${\mathbb R}^2={\mathbb R}\times{\mathbb R}$ y como aplicación $f:{\mathbb R}^2\rightarrow{\mathbb R}$, $f(x,y)=x+y$. Lo que vamos a hacer es poner diferentes topologías tanto en el dominio como en el codominio, y en el dominio, una topología producto.

En esta entrada tomamos como topología en el dominio a ${\tau}_i\times\tau_i$, donde $\tau_i$ es la topología del punto incluido para $p=0$.  En el codominio, consideramos la topología usual $\tau_u$ de ${\mathbb R}$. Para estudiar la continuidad, hallamos la imagen inversa de la base usual de $\tau_u$. Sea un intervalo abierto $(a,b)$. Entonces $f^{-1}((a,b))=\{(x,y):x+y\in (a,b)\}$. Este conjunto es la banda que hay entre las rectas de ecuación  $y=-x+a$ y $y=-x+b$ (sin incluir los bordes). Sólo queda estudiar si dicho conjunto es abierto en ${\tau}_i\times\tau_i$. Una base de entornos de $(x,y)$ en ${\mathbb R}^2$ es
$$\beta_{(x,y)}=\{\{x,0\}\times\{y,0\}\}=\{(x,y),(x,0),(0,y),(0,0)\}.$$
Pero $f^{-1}((1,3))$ no contiene al punto $(0,0)$. Por tanto, la aplicación no es continua.

Con el mismo argumento, concluimos que $f$ no es continua en $(x,y)=(1,1)$: aquí $f(1,1)=2$.