El borde de un toro es la figura del 8

 Consideramos el toro como el cociente de $I^2/\sim$ donde $I=[0,1]$ y $\sim$ es la relación $(0,t)\sim (1,t)$ y $(t,0)\sim (t,1)$. Consideramos el borde del cuadrado $B=\partial I^2$ y el cociente $B/\sim$. Probamos que dicho cociente es la figura del 8.

Para la figura del 8, consideramos dos esferas tangentes: $Y=S^1(1,0)\cup S^1(-1,0)$. Se define la aplicación $f:B\to Y$ mediante

$$\begin{array}{l} (t,0)\mapsto (1,0)+(\cos(2\pi t)+\pi),\sin(2\pi t)+\pi)\\

(t,1)\mapsto (1,0)+(\cos(2\pi t)+\pi),\sin(2\pi t)+\pi)\\

(0,t)\mapsto (-1,0)+(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))\\

(t,0)\mapsto (1,0)+(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)) 

\end{array}$$

Esta aplicación está bien definida, factoriza pues $f(p)=f(q)$ si y sólo si $p\sim q$ y es una identificación porque el dominio es compacto y llega a un espacio Hausdorff. Finalmente, la topología cociente en $B/\sim$ es la topología inducida del toro, pues la aplicación proyeccion de $I^2$ al toro es cerrada (dominio compacto y codominio Hausdorff). 

Por tanto, la aplicación $\tilde{f}\colon B/\sim\to Y$ es un homeomorfismo.