Identificaciones y homotopías en espacios cocientes

En la entrada anterior quedó por probar que $F'$ es una homotopía. En este caso, el dominio de $F'$ es un espacio cociente. Es natural pensar que $F'$ será continua si y sólo si $F'\circ (p\times 1_{I})$ es continua. Sin embargo esto no es trivial y para ello se usa de manera importante que $I$ es compacto. Probamos el siguiente resultado, el cual nos responde al problema planteado. Reemplazamos $I$ por un espacio localmente compacto y Hausdorff, aunque usaremos las notación $I$. 

Teorema. Si $f\colon X\to Y$ es una identificación, entonces $f\times 1_I$ es una identificación.

Demostración.  Es suficiente probar que $g:Y\times I\to Z$ es continua si y sólo si $h=g\circ (f\times 1_I)$ es continua. Por tanto, supongamos que $h$ es continua y probamos que $g$ también lo es. Sea $(y_0,t_0)\in Y\times I$ y $V$ un entorno abierto de $g(y_0,t_0)$. Sea $f(x_0)=y_0$ ($f$ es sobreyectiva). Ya que $h$ es continua e $I$ es localmente compacto, existen entornos $U$ de $x_0$ y $W$ entorno compacto de $t_0$ tal que $h(U\times W)\subset V$. Sea $$O'=\{y\in Y: g(\{y\}\times W)\subset V\}.$$ Este conjunto contiene a $y_0$ y evidentemente $g(O')\subset W$. Faltaría por probar que $O'$ es abierto. Ya que $f$ es una identificación, es equivalente a probar que $f^{-1}(O')$ es abierto en $X$. Obsérvese que $$f^{-1}(O')=\{x\in X:g(f(x)\times U)\subset V\}.$$ Pero su complementario es $$X-f^{-1}(O')=p_X((X\times W)\cap h^{-1}(Z-V)).$$ Este es conjunto es cerrado, donde $p_X\colon X\times Y\to X$ es la primera proyección. Aquí se usa que $W$ es compacto, luego es cerrado, y también $X\times W$. Esto es consecuencia a que lo que hay en el paréntesis es cerrado, y por otro al siguiente resultado conocido de espacios compactos: "si $Y$ es compacto, entonces $p_X\colon X\times Y\to X$ es una aplicación cerrada".

Volviendo al origen, es decir, a la entrada anterior y a la prueba de que $F'$ es continua, la aplicación $p\times 1_I$ es una identificación porque $p$ lo es y usamos el teorema anteriormente probado. Por otro lado, ya que es una identificación, $F'$ es continua si y sólo si $F'\circ (p\times 1_I)$ es continua, y esto fue lo que se probó en la entrada anterior. 

i y sólo si $(f\times 1_I)\circ (p\times 1_I) (se puede reemplazar$I$ por un espacio localmente com