viernes, 15 de enero de 2010

Confudámosnos...

... con las palabras conexo, componente, abierto y cerrado.

Una componente conexa es cerrada pues su adherencia, que es más grande, es conexa. Como no puede ser más grande, es igual: una componente es cerrada. Pero no tiene porqué ser abierta (ejemplo: ¿componentes de $Q$, conjunto de números racionales?).

Si el número de componentes es finito, entonces también son abiertos, ya que toda componente es complementario de las demás componentes, que es unión finita de cerrados, es decir, cerrado.

En el ejemplo de clase $A=(R\times\{1\})\cup(R\times\{-1\})$ las dos componentes son conjuntos abiertos. Este ejercicio se puede generalizar fácilmente diciendo que si se tiene una partición del espacio por abiertos conexos, entonces dichos abiertos coinciden con las componentes conexas. Este resultado es una condición suficiente ya que, como he escrito antes, $Q$ es unión de sus componentes que no son abiertos.

Reflexionad...

6 comentarios:

  1. Las componentes de Q son los puntos de Q, que son tantos como números naturales haya (hay una biyección entre N y Q), por lo tanto Q tiene un número de componentes tan grande como N, por lo que Q no es conexo

    Hablo con la topología usual en R

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  2. Perdón, se me añadió olvidar.
    Este razonamiento, me he basado en que entre 2 números racionales, hay uno que no es racional.

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  3. Jesús Pulgar Rubio17 de enero de 2010, 12:39

    Creo que la pregunta no es si Q es conexo sino que Q es un ejemplo de que las componentes conexas no tienen porque ser abiertas. Efectivamente, las componentes conexas de Q son los propios puntos, ya que nos únicos intervalos contenidos en Q son los puntos. Pero en este caso las componentes conexas no son abiertas, ya que la topología inducida en Q no es la discreta.

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  4. Ah, vale, no había entendido bien la pregunta.
    Cuando dije la topología usual en R, quería decir la topología en intersección con Q, o sea la topología relativa.

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