jueves, 14 de enero de 2010

Un caso especial de conjuntos conexos

Un espacio topológico donde dos abiertos NO triviales SIEMPRE se interseca es conexo. Cuando se dice que un abierto es trivial, nos referimos a que es el conjunto vacío, o es todo el espacio. Efectivamente, si $X=A\cup B$ es una partición por abiertos, ya que $A\cap B=\emptyset$, entonces alguno de ellos es trivial. Supongamos que $A=X$. Como $B$ es disjunto de $A$, entonces $B$ es el conjunto vacío. Si $A=\emptyset$ y como $X=A\cup B$, entonces $B=X$.

Mostramos dos ejemplos de cómo se aplica el resultado es el siguiente: $R$ con la topología a derechas es conexo. La topología a derechas es la generada por $\beta=\{[a,\infty);a\in R\}$. Ya que los abiertos son uniones de elementos de $\beta$ y dos elementos de $\beta$ se intersecan, lo mismo le sucede a los abiertos.

El otro ejemplo es la topología del punto incluido, que también es conexa: ya que cualquier abierto no trivial contiene al punto prefijado, entonces dos abiertos no triviales siempre se intersecan.

3 comentarios:

  1. Jesús Pulgar Rubio14 de enero de 2010, 15:49

    Otro ejemplo puede ser considerando el espacio topológico (X,T) donde T es la topologia de los complementos finitos, en ella los abiertos son conjuntos infinitos menos un número finito de elementos, por tanto dos abiertos no trviales cualesquiera siempre se intersecan. Por lo que deducimos que el espacio es conexo.

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  2. Pedro Jesus Barragan15 de enero de 2010, 13:42

    Otro ejemplo curioso es el que encontramos en los números naturales.
    Si consideramos en N la familia T1 formada por el vacío, N y los conjuntos An={1,2,3,...,n} se observa que ésto es una topología.
    Claramente vemos que dos abiertos siempre se intersecan, ya que el {1} está en todos.
    Análogamente, si cambiamos An por Bn={n,n+1,n+2,...} también tendríamos una topología y vemos que dos abiertos no triviales siempre se intersecan.

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  3. Otro ejemplo de ello el espacio (X, t(beta)), donde beta={(x,infinito);x pertenece a R).En este espacio los abiertos son de la forma (x, infinito), por tanto dos abiertos no triviales siempre se intersecan, por lo que el espacio es conexo.

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