Buscando bases numerables (y II)

Continúo con la entrada anterior. La demostración de la existencia de la base $\gamma$ aparece en los apuntes del tema 5 (proposición 1.6.6 y corolario siguiente. Directamente de ambos, es la siguiente prueba. Sea $\beta=\{B_i;i\in I\}$ y $\beta^\prime$ una base numerable. Se define $\gamma=\{B_{ij};\exists i,j\in I, B_{i}^{\prime}\subset B_{ij}\subset B_j^\prime, B_{ij}\in\beta, B_{i}^{\prime},B_{j}^{\prime}\in\beta^{\prime}\}$. Este conjunto no es vacío. Para ello, sea B_{j}^{\prime} cualquiera y x un elemento suyo. Entonces existe $B_z\in\beta$ con $x\in B_z\subset B_{j}^{\prime}$. Como
$\beta^{\prime}$ es base, existe $B_{i}^{\prime}, x\in B_{i}^{\prime}\subset B_z$.

Para cada para $(i,j)\in I\times I$, puede haber muchos conjuntos $B_z$. Tomamos uno y lo fijamos (usamos el axioma de elección). Y lo llamamos $B_{ij}$. Si $\gamma$ es base, ya hemos acabado, ya que $card(\gamma)\leq card(I\times I)$ y si $I$ es finito, entonces $I\times I$ también lo es, y si $I$ es infinito (numerable), entonces
$card(I\times I)=card(I)=card(N)$.

Para probar que $\gamma$ es base (como ya son abiertos) hay que tomar un abierto O y x un elemento suyo. Usando que $\beta$ y $\beta^{\prime}$ son bases, se tiene que existe j con $x\in B_{j}^{\prime}\subset O$ y existe $B_z\in\beta$ con $x\in B_z\subset B_{i}^{\prime}$. De nuevo, existe i con $x\in B_{i}^{\prime}\subset B_z$. Por tanto, para el par $(i,j)$, consideramos $B_{ij}\in\gamma$, el cual satisface $B_{i}^{\prime}\subset B_{ij}\subset B_{j}^{\prime}$. En particular, $x\in B_{ij}\subset O$.

Buscando bases numerables

Voy a recordar un "método" para saber si un espacio es ANII (o ANI). Supongamos que el espacio es conocido o ha sido trabajado. Entonces es muy posible que ya sepamos cuál es una base de abiertos $\beta$. Entonces tenemos dos posibilidades:

1) Si $\beta$ es numerable, entonces el espacio es ANII.
2) Si $\beta$ no es numerable, (y ahora viene lo importante), y si el espacio es ANII, habría una base $\gamma$, con $\gamma\subset\beta$ de forma que $\gamma$ es numerable. Habría que trabajar ahora con esta base para estudiar si es posible o no la existencia de esta base $\gamma$.

En clase hemos visto varios ejemplos de ellos (topología de Sorgenfrey, topología a derechas, etc. Pongo otro. Si $X$ no es numerable, entonces la topología del punto incluido (para $x=p$) no es ANII. Para ello se toma como base $\beta=\{\{x,p\};x\in X\}$. Si es ANII, entonces existe una base del tipo $\gamma=\{\{x_i,p\};i\in N\}$. Pero como $X$ no es numerable, existe un elemento y en $X$ tal que $y\not= x_i,p$ (en caso contrario, X sería numerable). Entonces como $\{y,p\}$ es un abierto, existiría $i\in I$ tal que $y\in\{x_i,p\}\subset\{y,p\}$. Esto implica $y=x_i$: contradicción.

En clase se probó que este espacio no era ANII viendo que $\beta$ es la base más pequeña.

Buscando un contraejemplo

El axioma de separación "normal" no es productiva, es decir, no se mantiene (en general) por productos topológicos. El ejemplo que siempre aparece es la recta de Sorgenfrey $(R,\tau_S)$. Este espacio es normal. Sin embargo, $(R\times R,\tau_S\times\tau_S)$ no es normal. Estoy buscando otro ejemplo. Estoy pensando en tres formas de obtener contrajemplos.

Primero, a partir de topologías definidas en $R$, y haciendo el producto consigo misma. Pienso en la topología a derechas, la cual es normal. La pregunta es si $(R\times R,T_d\times T_d)$ es o no normal.

La otra forma es buscando ejemplos en conjuntos finitos. Por ejemplo, en la topología de Sierpinski, que sí es normal, y haciendo el producto por sí misma.

Finalmente, tomando dos espacios topológicos $(X,T)$, $(Y,T^\prime)$ donde $X$ e $Y$ son distintos. Por ejemplo, $(X,T)=R$ con la topología usual e $(Y,T^\prime)$ la topología de Sierpinski.

Separación de puntos

En el ejemplo de hoy tomamos un conjunto $X$ y una partición por dos conjuntos $A$ y $B$, cada uno con más de dos puntos. Tomamos como abiertos de la topología $T$, aparte de los triviales, a los conjuntos $A$ y $B$. Hemos probado que no es Hausdorff ya que dos puntos de $A$ no pueden separarse por abiertos. Esto se debe a que el único abierto que contiene a cada uno de esos puntos es $A$ (aparte de $X$).

Algo parecido lo podemos en la topología del punto incluido: sea $X$ un conjunto y $p$ el punto elegido. Entonces todo abierto contiene al punto p, luego dos abiertos distintos siempre se cortan. Esto significa que no es Hausdorff.

Y también algo parecido sucede cuando en el espacio topológico existen puntos algo "patológicos". Por ejemplo, si hay un punto, donde el único entorno es todo el espacio. Esto sucede por ejemplo en la topología de Sierpinski o en la topología del punto excluido, donde el único entorno del punto excluido es todo el espacio.

Convergencia de sucesiones en la topología de Sorgenfrey

En la topología de Sorgenfrey, consideramos $\{x_n\}\rightarrow x$ y tomamos como entorno $[x,x+\epsilon)$. Entonces a partir de un cierto lugar $m$, $x_n\in [x+\epsilon)$. Por tanto, podemos comparar la "definición" de convergencia en $\mathbb{R}$ con la topología usual, con la definición en la topología de Sorgenfrey, que es la siguiente:

Para cada $\epsilon>0$, existe un natural m tal que si $n\geq m$, $0\leq x_n-x<\epsilon$.

De esta forma podemos encontrar sucesiones convergente para la topología usual que no lo son en la de Sorgenfrey. Concretamente, si $x_n\nearrow x$ en la topología usual, nunca converge en la topología de Sorgenfrey.

Convergencia de sucesiones en la topología a derechas

Sea $R$ con la topología a derechas. Recuerdo (de clase) que la sucesión $\{\frac{1}{n}\}$ converge a $x=-80$, ya que para el entorno de la base de entornos de $x$, esto es, $U=[-80,\infty)$, todos los elementos de la sucesión pertenecen a $U$.

En general, teníamos carecterizadas la sucesiones convergentes del siguiente modo: $\{x_n\}\rightarrow x$ si y sólo si, a partir de un cierto lugar, $x\leq x_n$.

Cambiemos de topología en $R$ y consideremos $T$ la que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in R$. Una base de entornos de x es $\beta_x=\{(x-1/n,\infty);n\in N\}$. Por tanto, si una sucesión, a partir de un cierto lugar, satisface $x\leq x_n$, entonces converge a $x$. Sin embargo, no es cierto el recíproco. Así, la sucesión $\{-1/n\}$ converge a $0$, pues dado un entorno $U=(-1/m,\infty)$, si $n\geq m$, entonces $1/n\in U$.

Por tanto, hay sucesiones convergentes en T que no lo son en la topología a derechas.

Caminos y conexión

Juntando conexión, el teorema del valor medio y el concepto de camino, podemos probar lo que vemos en la calle. Me explico. En el espacio R^3, consideramos la esfera unida S^2 y los puntos $p=(0,0,0$) y $q=(0,0,2)$. Sea
$\alpha:[0,1]\rightarrow R^3$ un camino que una $p$ con $q$. Queremos probar que la curva $\alpha$ debe intersecar la esfera $S^2$ (cosa que se "ve" claramente).

Consideramos$\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ las funciones coordenadas del camino y definamos la función $f:[0,1]\rightarrow R$ dada por $f(t)=\langle\alpha(t),\alpha(t)\rangle=x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2$. Esta aplicación es continua. Veamos qué ocurre en los extremos del intervalo. Así, $f(0)=|p|^2=0$ y $f(1)=|q|^2=4$. Ya que $[0,1]$ es conexo, por el teorema del valor medio, existe
$t_0\in [0,1]$ tal que $f(t_0)=1$. Esto quiere decir que $|\alpha(t_0)|^2=1$, es decir, $\alpha(t_0)\in S^2$.