Juntando conexión, el teorema del valor medio y el concepto de camino, podemos probar lo que vemos en la calle. Me explico. En el espacio R^3, consideramos la esfera unida S^2 y los puntos p=(0,0,0) y q=(0,0,2). Sea
\alpha:[0,1]\rightarrow R^3 un camino que una p con q. Queremos probar que la curva \alpha debe intersecar la esfera S^2 (cosa que se "ve" claramente).
Consideramos\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)) las funciones coordenadas del camino y definamos la función f:[0,1]\rightarrow R dada por f(t)=\langle\alpha(t),\alpha(t)\rangle=x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2. Esta aplicación es continua. Veamos qué ocurre en los extremos del intervalo. Así, f(0)=|p|^2=0 y f(1)=|q|^2=4. Ya que [0,1] es conexo, por el teorema del valor medio, existe
t_0\in [0,1] tal que f(t_0)=1. Esto quiere decir que |\alpha(t_0)|^2=1, es decir, \alpha(t_0)\in S^2.
\alpha:[0,1]\rightarrow R^3 un camino que una p con q. Queremos probar que la curva \alpha debe intersecar la esfera S^2 (cosa que se "ve" claramente).
Consideramos\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)) las funciones coordenadas del camino y definamos la función f:[0,1]\rightarrow R dada por f(t)=\langle\alpha(t),\alpha(t)\rangle=x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2. Esta aplicación es continua. Veamos qué ocurre en los extremos del intervalo. Así, f(0)=|p|^2=0 y f(1)=|q|^2=4. Ya que [0,1] es conexo, por el teorema del valor medio, existe
t_0\in [0,1] tal que f(t_0)=1. Esto quiere decir que |\alpha(t_0)|^2=1, es decir, \alpha(t_0)\in S^2.
Esto es un ejemplo de que no siempre lo que podemos " ver con los ojos " es fácil de demostrar en el papel o se nos puede ocurrir rápidamente, aún así esta demostración tiene fácil comprensión desde mi punto de vista, ya que la aplicación muestra lo que haríamos con el papel y lápiz para unir p con q.
ResponderEliminarPero el Teorema del Valor Medio, ¿no decía algo de funciones derivables que han de alcanzar su pendiente media en algún punto?
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