Buscando bases numerables

Voy a recordar un "método" para saber si un espacio es ANII (o ANI). Supongamos que el espacio es conocido o ha sido trabajado. Entonces es muy posible que ya sepamos cuál es una base de abiertos $\beta$. Entonces tenemos dos posibilidades:

1) Si $\beta$ es numerable, entonces el espacio es ANII.
2) Si $\beta$ no es numerable, (y ahora viene lo importante), y si el espacio es ANII, habría una base $\gamma$, con $\gamma\subset\beta$ de forma que $\gamma$ es numerable. Habría que trabajar ahora con esta base para estudiar si es posible o no la existencia de esta base $\gamma$.

En clase hemos visto varios ejemplos de ellos (topología de Sorgenfrey, topología a derechas, etc. Pongo otro. Si $X$ no es numerable, entonces la topología del punto incluido (para $x=p$) no es ANII. Para ello se toma como base $\beta=\{\{x,p\};x\in X\}$. Si es ANII, entonces existe una base del tipo $\gamma=\{\{x_i,p\};i\in N\}$. Pero como $X$ no es numerable, existe un elemento y en $X$ tal que $y\not= x_i,p$ (en caso contrario, X sería numerable). Entonces como $\{y,p\}$ es un abierto, existiría $i\in I$ tal que $y\in\{x_i,p\}\subset\{y,p\}$. Esto implica $y=x_i$: contradicción.

En clase se probó que este espacio no era ANII viendo que $\beta$ es la base más pequeña.