domingo, 21 de marzo de 2010

Buscando un contraejemplo

El axioma de separación "normal" no es productiva, es decir, no se mantiene (en general) por productos topológicos. El ejemplo que siempre aparece es la recta de Sorgenfrey $(R,\tau_S)$. Este espacio es normal. Sin embargo, $(R\times R,\tau_S\times\tau_S)$ no es normal. Estoy buscando otro ejemplo. Estoy pensando en tres formas de obtener contrajemplos.

Primero, a partir de topologías definidas en $R$, y haciendo el producto consigo misma. Pienso en la topología a derechas, la cual es normal. La pregunta es si $(R\times R,T_d\times T_d)$ es o no normal.

La otra forma es buscando ejemplos en conjuntos finitos. Por ejemplo, en la topología de Sierpinski, que sí es normal, y haciendo el producto por sí misma.

Finalmente, tomando dos espacios topológicos $(X,T)$, $(Y,T^\prime)$ donde $X$ e $Y$ son distintos. Por ejemplo, $(X,T)=R$ con la topología usual e $(Y,T^\prime)$ la topología de Sierpinski.

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