Sobre homeomorfismos

Un comentario de la entrada anterior motiva ésta. Cuando se dice que un conjunto es abierto (o cerrado), está diciendo 'Un conjunto $A\subset X$ es abierto en el espacio topológico $(X,\tau)$ si...', es decir, un conjunto es abierto en.

 

El intervalo $(0,1)$ es homeomorfo a $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}$ es homeomorfo a $\mathbb{R}\times\{0\}\subset\mathbb{R}^2$. Por otro lado:

1. El intervalo $(0,1)$ es abierto en $\mathbb{R}$ y no es cerrado.
2. El conjunto $\mathbb{R}$ es abierto y cerrado en $\mathbb{R}$.
3. El conjunto $\mathbb{R}\times\{0\}$, es decir, el eje de abcisas, es un conjunto cerrado en $\mathbb{R}^2$ y no es abierto.

Creo que estos ejemplos aclaran un poco la cuestión planteada al principio. Y por supuesto, no tiene nada que ver con el hecho de ser o no ser homeomorfos a....

Distinguir intervalos

¿Hay alguna forma de distinguir topológicamente el intervalo $[0,1)$ y $(0,1)$, con la topología usual, y que no sea usando un argumento de conexión?

Casi un homeomorfismo (II)

Este post está motivado por el comentario de Daniel en la anterior entrada.

Otro ejemplo de una aplicación biyectiva entre dos espacios topológicos que es continua pero no es homeomorfismo es el siguiente ejemplo 'simple'. Sea $X$ un conjunto con dos topologías distintas $\tau_1$ y $\tau_2$ tal que $\tau_1\subset\tau_2$. Consideramos la aplicación identidad:
$$1_X:(X,\tau_2)\rightarrow (X,\tau_1).$$
Esta aplicación es biyectiva y continua porque $\tau_1$ es menos fina que $\tau_2$. Sin embargo, la aplicación no es un homeomorfismo pues entonces se tendría $\tau_1=\tau_2$.

Casi un homeomorfismo

Pongo un ejemplo de una aplicación biyectiva entre dos espacios topológicos que es continua, pero no es homeomorfismo. Para ello tomo $X=[0,2\pi)$ e $Y=S^1$. Tomamos la aplicación $f(x)=(\cos(x),\sin(x))$. Esta aplicación es continua y es biyectiva.

Sin embargo, la inversa de $f$ no es continua. Para ello, tomamos una sucesión de puntos $\{x_n\}\subset S^1$ que se aproxima a $(1,0)$ por debajo, es decir, puntos que pertenecen al cuarto cuadrante. Entonces la sucesión $\{f^{-1}(x_n)\}$ no es convergente: en verdad converge en $[0,2\pi]$, pero no en nuestro espacio topológico $X$. Debería de haber convergido a $x=0$, pues $f^{-1}((1,0))=0$.

Propongo que dejéis más ejemplos.

La continuidad es una cuestión local

Decir que la continuidad es una 'cuestión local' significa que para estudiar la continuidad en un punto, basta con estudiar la función 'alrededor' de dicho punto. Concretamente, si $f:(X,\tau)\rightarrow (Y,\tau')$ es una aplicación entre dos espacios topológicos y $x\in X$, entonces son equivalentes:

1. $f$ es continua en $x$.
2. Existe un entorno $U$ de $x$ tal que $f:(U,\tau_{|U})\rightarrow (Y,\tau')$ es continua en $x$.
3. Existe un abierto $O\in\tau$ con $x\in O$ tal que $f:(O,\tau_{|O})\rightarrow (Y,\tau')$ es continua en $x$.

O dicho de otro modo, 'alrededor de $x$' quiere decir, en un 'entorno de $x$'. De entre los muchos ejemplos que se pueden poner sobre esta cuestión, propongo el siguiente.

Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología $\tau$ del punto incluido para $p=0$ y $f:(\mathbb{R},\tau)\rightarrow (\mathbb{R},\tau)$ la aplicación dada por $f(x)=x+2$. Esta aplicación no es continua en ningún punto. Sin embargo, si tomamos $x=1$, y $V=(0,2)$, con $x\in V$, la aplicación $f:((0,2),\tau_{|V})\rightarrow (\mathbb{R},\tau)$ es continua en todo punto, en particular, en $x=1$.

Distinguir topologías

Sabemos que los invariantes topológicos sirven para clasificar espacios topológicos, concretamente, para saber que dos espacios no son homeomorfos. Voy a tomar dos espacios con los que trabajamos habitualmente. En $\mathbb{R}$ tomamos la topología $\tau_1$ que tiene por base los abiertos de la forma $[a,\infty)$ y $\tau_2$ la que tiene por base los intervalos $(a,\infty)$. Lo que propongo es encontrar el mayor número de invariantes topológicos que distinga un espacio de otro.

De primeras, se me ocurre el siguiente invariante: "tener cada punto una base de entornos con un único elemento". Es evidente que el primer espacio lo satisface tomando $\beta_x^1=\{[x,\infty)\}$ pero no el segundo, pues en tal caso, si $\beta^2_x=\{V\}$ es una base de entornos, sabemos que existe $a\in\mathbb{R}$ tal que $x\in (a,\infty)\subset V$. En particular, $a < x$. Pero $(a,\infty)$ también es un entorno de $x$, luego $V\subset (a,\infty)$. Esto probaría que $V=(a,\infty)$. Si tomamos ahora $b$ tal que $a < b < x$, entonces $(b,\infty)$ es un entorno de $x$, pero es claro que $V\not\subset (b,\infty)$. ¿Hay más invariantes topológicos que prueben que estos espacios no son homeomorfos?

"Pasando de epsilons": la continuidad de f(x)=x^2

La aplicación $f(x)=x^2$ es continua vista de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ con la topología usual $\tau_u$. Si uno hace la demostración como se le ha enseñado en la asignatura de Cálculo, tendría que probar que es continua en cada punto $x_0\in \mathbb{R}$. Para ello, dado $\epsilon>0$, habría que encontrar un $\delta>0$ tal que si $|x-x_0|<\delta$ entonces $|x^2-x_0^2|<\epsilon$. ¿Cuál es el valor de $\delta$?

"Pasando" de epsilons y deltas, veamos ahora el problema como un ejercicio de la asignatura de "Topología I", probando que es continua en $\mathbb{R}$. Para ello es suficiente probar que, dada una base de $\mathbb{R}$ (espacio codominio) la imagen inversa mediante $f$ de cada elemento de la base es un abierto en $\mathbb{R}$ (espacio dominio). Tomamos $\beta=\{(a,b);a < b, a,b\in\mathbb{R}\}$. Entonces $$f^{-1}((a,b))=\left\{\begin{array}{ll} \emptyset&\mbox{si $b\leq 0$}\\ (-\sqrt{b},\sqrt{b})&\mbox{si $a\leq 0$}\\ (-\sqrt{b},-\sqrt{a})\cup (\sqrt{a},\sqrt{b})&\mbox{si $0 < a $} \end{array}\right.$$
Por tanto, $f^{-1}((a,b))$ es abierto de $(\mathbb{r},\tau_u)$.

Actualización del blog y de la página web

Acabo de actualizar el blog en el sentido que he añadido los nuevos materiales docentes de este curso. Concretamente, el resumen teórico de los contenidos de la asignatura que entregué al principio del curso, las relaciones de ejercicios de los temas, así como los exámenes.

También podéis ver esto en mi página web, en el siguiente enlace:

http://www.ugr.es/~rcamino/docencia/topologia11-12/topologia11-12.htm

Interior en la topología relativa

Consideramos un espacio topológico $(X,\tau)$ y $B\subset A\subset X$. Es conocida la propiedad que relaciona la adherencia $\overline{B}$ de $B$ en $X$ con la adherencia $\overline{B}^{A}$ de $B$ en $(A,\tau_{|A})$: $\overline{B}^A=\overline{B}\cap A$. En esta entrada nos preguntamos qué sucede con la 'correspondente' propiedad con el interior, es decir, si hay alguna relación entre $int(B)$ e $int(B)^A$.

Lo que se le ocurre a uno es que se tendría $int(B)^A=int(B)\cap A$. Veamos un ejemplo. Tomamos en $\mathbb{R}$ la topología usual, $A=\{0\}\cup[1,2]$ y $B=\{0\}$. Entonces $B$ es un abierto en $(A,\tau_{|A})$ y por tanto, $int(B)^A=B$. Sin embargo $int(B)=\emptyset$. Esto nos hace pensar que la propiedad que se tiene es
$$int(B)\cap A\subset int(B)^A.$$
Efectivamente, si $x\in int(B)\cap A$, entonces existe un entorno $U$ de $x$ en $X$ tal que $U\subset B$. En particular, $U\cap A\subset B\cap A=B$. Ya que $U\cap A$ es un entorno de $x$ en la topología relativa $\tau_{|A}$ y como $x\in A$, entonces $x\in int(B)^A$.

El ejemplo anterior nos dice que no tiene porqué ser cierta la igualdad.

Os dejo que penséis que sucede con la frontera y el exterior.