Consideramos un espacio topológico (X,\tau) y B\subset A\subset X. Es conocida la propiedad que relaciona la adherencia \overline{B} de B en X con la adherencia \overline{B}^{A} de B en (A,\tau_{|A}): \overline{B}^A=\overline{B}\cap A. En esta entrada nos preguntamos qué sucede con la 'correspondente' propiedad con el interior, es decir, si hay alguna relación entre int(B) e int(B)^A.
Lo que se le ocurre a uno es que se tendría int(B)^A=int(B)\cap A. Veamos un ejemplo. Tomamos en \mathbb{R} la topología usual, A=\{0\}\cup[1,2] y B=\{0\}. Entonces B es un abierto en (A,\tau_{|A}) y por tanto, int(B)^A=B. Sin embargo int(B)=\emptyset. Esto nos hace pensar que la propiedad que se tiene es
int(B)\cap A\subset int(B)^A.
Efectivamente, si x\in int(B)\cap A, entonces existe un entorno U de x en X tal que U\subset B. En particular, U\cap A\subset B\cap A=B. Ya que U\cap A es un entorno de x en la topología relativa \tau_{|A} y como x\in A, entonces x\in int(B)^A.
El ejemplo anterior nos dice que no tiene porqué ser cierta la igualdad.
Os dejo que penséis que sucede con la frontera y el exterior.
Lo que se le ocurre a uno es que se tendría int(B)^A=int(B)\cap A. Veamos un ejemplo. Tomamos en \mathbb{R} la topología usual, A=\{0\}\cup[1,2] y B=\{0\}. Entonces B es un abierto en (A,\tau_{|A}) y por tanto, int(B)^A=B. Sin embargo int(B)=\emptyset. Esto nos hace pensar que la propiedad que se tiene es
int(B)\cap A\subset int(B)^A.
Efectivamente, si x\in int(B)\cap A, entonces existe un entorno U de x en X tal que U\subset B. En particular, U\cap A\subset B\cap A=B. Ya que U\cap A es un entorno de x en la topología relativa \tau_{|A} y como x\in A, entonces x\in int(B)^A.
El ejemplo anterior nos dice que no tiene porqué ser cierta la igualdad.
Os dejo que penséis que sucede con la frontera y el exterior.
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