lunes, 14 de noviembre de 2011

Distinguir topologías

Sabemos que los invariantes topológicos sirven para clasificar espacios topológicos, concretamente, para saber que dos espacios no son homeomorfos. Voy a tomar dos espacios con los que trabajamos habitualmente. En $\mathbb{R}$ tomamos la topología $\tau_1$ que tiene por base los abiertos de la forma $[a,\infty)$ y $\tau_2$ la que tiene por base los intervalos $(a,\infty)$. Lo que propongo es encontrar el mayor número de invariantes topológicos que distinga un espacio de otro.

De primeras, se me ocurre el siguiente invariante: "tener cada punto una base de entornos con un único elemento". Es evidente que el primer espacio lo satisface tomando $\beta_x^1=\{[x,\infty)\}$ pero no el segundo, pues en tal caso, si $\beta^2_x=\{V\}$ es una base de entornos, sabemos que existe $a\in\mathbb{R}$ tal que $x\in (a,\infty)\subset V$. En particular, $a < x$. Pero $(a,\infty)$ también es un entorno de $x$, luego $V\subset (a,\infty)$. Esto probaría que $V=(a,\infty)$. Si tomamos ahora $b$ tal que $a < b < x$, entonces $(b,\infty)$ es un entorno de $x$, pero es claro que $V\not\subset (b,\infty)$. ¿Hay más invariantes topológicos que prueben que estos espacios no son homeomorfos?

2 comentarios:

  1. Claudio Zalba Olaizola14 de noviembre de 2011, 14:07

    Si dos espacios topologicos son homeomorfos y definimos una funcion de uno de ellos en si mismo que resulta ser continua, tambien habra de ser continua en el otro espacio sobre si mismo.
    Se me ocurre pensar en la funcion valor absoluto de x; f(x)=⎮x⎮ La antiimagen de [0,∞) en τ1 es toda la recta real, es decir, la antiimagen de ese abierto es un abierto y por tanto f es una funcion continua en 0.
    Sin embargo, en (R,τ2) la antiimagen del abierto (0,∞) es (-∞,0)∪(0,∞), pero este conjunto no es abierto, ya que (-∞,0) no se puede expresar como union de elementos de la base de τ2, entonces f no es continua en 0.
    Si los dos espacios fueran homeomorfos la continuidad de funciones seria un invariante, pero en este caso no se mantiene, de ahi que los dos espacios no sean homeomorfos.

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  2. Varias cosas. No tengo clara que la 'misma' aplicación sea continua con la otra topología. Por ser homeomorfos, podemos componer con la función, y será continua, claro, pero NO es la misma. Quiero decir que si $\phi:(R,\tau_2)\rightarrow (R,\tau_1)$ es el homeomorfismo, entonces $\phi^{-1}\circ f\circ \phi$ es continua, pero esta aplicación no es $f$.

    Por otro lado, creo que la aplicación $f$ no es continua con la topología $\tau_1$, por ejemplo, $f^{-1}([1,\infty))=[-1,\infty)\cup (-\infty,-1]$, que no es abierto.

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