El 'ser abierto' no es una propiedad topológica, o al menos, habría que aclarar porqué del hecho de que uno sea abierto y el otro no hace que no puedan ser homeomorfos.
Supongamos que $f:[0,1)\to (0,1)$ es un homeomorfismo entre $[0,1)$ y $(0,1)$ y sea $a=f(0)\in(0,1)$. Si consideremos el caso en el que $f$ es estrictamente creciente tenemos que $f^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)$ debe ser menor que cero; por otro lado, si consideremos el caso en el que $f$ es estrictamente decreciente tenemos que $f^{-1}\left(\frac{a+1}{2}\right)$ debe ser menor que cero. Ambos casos contradicen el echo de que $f^{-1}$ es un homeomorfismo.
Evaristo, ¿porqué si hay un homeomorfismo entre los dos intervalos, tienes que ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente? Podría no ser ni una cosa ni otra.
Supongamos que $f:[0,1)\to (0,1)$ es un homeomorfismo entre $[0,1)$ y $(0,1)$, $g:(0,1)\to [0,1)$ la funci\'on inversa de $f$ y sea $a=f(0)\in(0,1)$. Dado que $f$ es inyectiva entonces $a$ es un único elemento y como $f$ es sobre tenemos que $f\left( (0,1)\right)=(0,a)\cup(a,1)$. Así, $g\left( (0,a)\cup(a,1)\right)=g\left( (0,a)\right)\cup g\left((a,1)\right)=(0,1)$. Pero $g\left( (0,a)\right)$ y $g\left( (a,1)\right)$ son abiertos (por $f$ ser continua) disjuntos (por $g$ ser inyectiva); lo cual es una contradicción porque no es posible obtener $(0,1)$ a partir de la unión de dos conjuntos disjuntos si éstos a su vez son la unión de intervalos abiertos.
El segundo es un abierto, el primero no.
ResponderEliminarPero no creo que los tiros vayan por ahí, creo que usted está buscando alguna prueba menos trivial
El 'ser abierto' no es una propiedad topológica, o al menos, habría que aclarar porqué del hecho de que uno sea abierto y el otro no hace que no puedan ser homeomorfos.
ResponderEliminarSupongamos que $f:[0,1)\to (0,1)$ es un homeomorfismo entre $[0,1)$ y $(0,1)$ y sea $a=f(0)\in(0,1)$. Si consideremos el caso en el que $f$ es estrictamente creciente tenemos que $f^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)$ debe ser menor que cero; por otro lado, si consideremos el caso en el que $f$ es estrictamente decreciente tenemos que $f^{-1}\left(\frac{a+1}{2}\right)$ debe ser menor que cero. Ambos casos contradicen el echo de que $f^{-1}$ es un homeomorfismo.
ResponderEliminarEvaristo, ¿porqué si hay un homeomorfismo entre los dos intervalos, tienes que ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente? Podría no ser ni una cosa ni otra.
ResponderEliminarSupongamos que $f:[0,1)\to (0,1)$ es un homeomorfismo entre $[0,1)$ y $(0,1)$, $g:(0,1)\to [0,1)$ la funci\'on inversa de $f$ y sea $a=f(0)\in(0,1)$. Dado que $f$ es inyectiva entonces $a$ es un único elemento y como $f$ es sobre tenemos que $f\left( (0,1)\right)=(0,a)\cup(a,1)$. Así, $g\left( (0,a)\cup(a,1)\right)=g\left( (0,a)\right)\cup g\left((a,1)\right)=(0,1)$. Pero $g\left( (0,a)\right)$ y $g\left( (a,1)\right)$ son abiertos (por $f$ ser continua) disjuntos (por $g$ ser inyectiva); lo cual es una contradicción porque no es posible obtener $(0,1)$ a partir de la unión de dos conjuntos disjuntos si éstos a su vez son la unión de intervalos abiertos.
ResponderEliminarel decir "no es posible obtener (0,1) a partirde la union de dos conjuntos disjuntos" esta usando la conexidad del intervalo (0,1).
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