viernes, 22 de marzo de 2013

La frontera de intervalos

En la recta euclídea, la frontera de un intervalo $[a,b]$ es $\{a,b\}$, los extremos del intervalo. Habitualmente, y debido a este ejemplo, pensamos que la frontera de un conjunto se encuentra en los 'bordes' del mismo. Por supuesto, esto se debe al hecho de que estamos utilizando la topología usual. Una curiosidad: en inglés la traducción de la palabra matemática 'frontera', es 'boundary'.

Definimos en ${\mathbb R}$ la topología del punto excluido para $p=1$ y consideramos el intervalo $[0,2]$. Sabemos que una base de entornos de un punto $x$, $x\not=1$, es $\beta_x=\{\{x\}\}$ y  para $p=1$, $\beta_1=\{{\mathbb R}\}$. Por tanto
$$\mbox{Fr}([0,2])=\{1\},$$
justo el  centro del intervalo, ¡lo más alejado de los extremos!

sábado, 16 de marzo de 2013

Subconjuntos homeomorfos al espacio ambiente (II)

Si seguimos con al entrada anterior, planteamos el mismo problema pero en dimensión 2. Pregunta: ¿existen subconjuntos $A$ de ${\mathbb S}^2$ homeomorfos a ${\mathbb S}^2$?

Con el mismo razonamiento que se hizo para ${\mathbb S}^1$, el conjunto $A$ sería homeomorfo a un conjunto conexo y compacto de ${\mathbb R}^2$. Ya puede darse uno cuenta que el problema no es tan fácil de resolver como el problema planteado en la entrada anterior para la circunferencia ${\mathbb S}^1$.

Podemos poner ejemplos particulares de subconjuntos $A$, como $A={\mathbb S}^1$. Ya se vio en clase, usando conexión, que ${\mathbb S}^1$ no es homeomorfo a ${\mathbb S}^2$.

Os dejo como ejercicio si es posible probar, usando las herramientas del temario de la asignatura, que el disco $A=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:x^2+y^2\leq 1\}$  no es homeomorfo a ${\mathbb S}^2$.

martes, 12 de marzo de 2013

Subconjuntos homeomorfos al espacio ambiente

Tenemos varios ejemplos de espacios topológicos que son homeomorfos a subconjuntos suyos, éstos con la topología inducida. Por ejemplo, todo subconjunto de un espacio discreto tiene la topología discreta. Por tanto, para buscar un ejemplo, basta con que el conjunto sea biyectivo con el subconjunto. Por ejemplo, $({\mathbb N},\tau_D)$ es homeomorfo a $(\{2n:n\in{\mathbb N}\},\tau_D)$.

Volviendo a un caso más 'cercano', sabemos que $(0,1)$ es homeomorfo a ${\mathbb R}$ con las topologías usuales. Nos planteamos el problema con la circunferencia ${\mathbb S}^1$. Si $A\varsubsetneq {\mathbb S}^1$ y $A\cong {\mathbb S}^1$, entonces $A$ es un conjunto conexo y compacto. Como la inclusión es estricta, podemos suponer que $A\subset {\mathbb S}^1\setminus\{p\}$, para un cierto punto $p$. Como ${\mathbb S}^1\setminus\{p\}\cong{\mathbb R}$, entonces $A$ es homeomorfo a un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$. Sin embargo, $[a,b]$ no puede ser homeomorfo a ${\mathbb S}^1$, ya que entonces $(a,b)$ (que es conexo) sería homeomorfo a ${\mathbb S}^1$ menos dos puntos, es decir, a ${\mathbb R}$ menos un punto, que no es conexo.

Concluimos que ${\mathbb S}^1$ no es homeomorfo a ningún subconjunto suyo.

viernes, 8 de marzo de 2013

La circunferencia como cociente de la esfera

Seguimos con otro ejemplo de la entrada anterior. Tomamos la proyección $f:{\mathbb S}^2\rightarrow{\mathbb R}$ dada por $f(x,y,z)=z$. Esta aplicación es cerrada y continua y su imagen es $[-1,1]$. Y ahora hacemos el correspondiente cociente para identificar $[-1,1]$ con ${\mathbb S}^1$ relacionando $x=-1$ con $x=1$. Entonces definimos $g:[-1,1]\rightarrow {\mathbb S}^1$ mediante $g(t)=(\cos(\pi t),\sin (\pi t))$.


Resumiendo, la aplicación $h:{\mathbb S}^2\rightarrow {\mathbb S}^1$ dada por $h=g\circ f$, $h(x,y,z)=(\cos(\pi t),\sin (\pi t))$ induce un homeomorfismo ${\mathbb S}^2/R_h\cong {\mathbb S}^1$. Si queremos escribir $R_h$, entonces sería
$$(x,y,z)R_h (x',y',z')\mbox{ si }|z-z'|=2.$$

miércoles, 6 de marzo de 2013

Cocientes en la esfera

Continuando con la entrada anterior, una forma de tener aplicaciones sobreyectivas, continuas y cerradas (y por tanto, identificaciones) es tomar aplicaciones continuas cuyo dominio es compacto y que llegue a un espacio Hausdorff. Restringiendo el codominio a la imagen de la aplicación, ésta se hace sobreyectiva.

Tomamos $f:{\mathbb S}^2\rightarrow{\mathbb R}^2$ la proyección ortogonal $f(x,y,z)=(x,y)$. Entonces $f({\mathbb S}^2)={\mathbb D}^2=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2: x^2+y^2\leq 1\}$. Entonces
$$\frac{{\mathbb S}^2}{R_f}\cong {\mathbb D}^2.$$
Sólo queda escribir la relación $R_f$. Se tiene $(x,y,z)R_f(x',y',z')$ si y sólo si $x=x'$, $y=y'$. Pero como $x^2+y^2+z^2=x'^2+y'^2+z'^2=1$, esto es equivalente a decir que $z^2=z'^2$, es decir, $z'=\pm z$. Por tanto, la relación $R_f$ es
$$(x,y,z)R_f(x',y',z') \Leftrightarrow z'=\pm z.$$

lunes, 4 de marzo de 2013

Más sobre las proyecciones

Las aplicaciones sobreyectivas, continuas y abiertas son identificaciones, por tanto, inducen ciertos homeomorfismos en un espacio cociente. Como ejemplo de estas aplicaciones tenemos las proyecciones en un producto topológicos.

Sea $(X\times Y,\tau\times\tau')$ un espacio producto y consideramos $p:X\times Y\rightarrow X$ la proyección $p(x,y)=x$. Esta aplicación es continua, sobreyectiva y abierta, luego es una identificación y así se tiene:
$$\frac{X\times Y}{R_p}\cong (X,\tau).$$
La relación $R_p$ está dada por $(x_1,y_1)R_p(x_2,y_2)$ si $p(x_1,y_1)=p(x_2,y_2)$. Luego $(x_1,y_1)R_p(x_2,y_2)$ si $x_1=x_2$. Por tanto, la clase de equivalencia de $(x,y)$ es
$$[(x_1,y_1)]=\{(x_1,y)\in X\times Y:y\in Y\}=\{x_1\}\times Y.$$
Conjuntistamente, el conjunto cociente $X\times Y/R_p$ tiene tantos elementos como tiene $X$. Y topológicamente, son homeomorfos, como ya hemos visto.

sábado, 2 de marzo de 2013

Pegar un espacio consigo mismo

Consideramos un espacio topológico $(X,\tau)$ y hacemos dos 'copias' del mismo. Una forma es considerar el espacio topológico producto  $(X\times\{0,1\},\tau\times\tau_u)$. Este espacio no es conexo, ya que el segundo factor no lo es. Podemos decir que son dos copias del espacio $(X,\tau)$, copias 'colocadas' en otro espacio topológico, que es un espacio producto.

Se define en $X\times \{0,1\}$ la relación de equivalencia $(x,t)R(x',t')$ si $x=x'$. Esta relación 'identifica' los puntos de una copia con los de la otra con la misma abcisa. Por tanto estamos pegando una copia con la otra, es decir, $X$ consigo mismo.

Probamos que $\frac{X\times\{0,1\}}{R}\cong X$. Para ello definimos $f:X\times\{0,1\}\rightarrow X$ mediante $f(x,t)=x$, es decir, $f$ es la primera proyección. Entonces $f$ es sobreyectiva, continua y abierta y por tanto, una identificación. Es evidente también que $R_f$ es $R$, luego se tiene el homeomorfismo buscado.