Quitando subconjuntos

A la vista de muchos ejemplos hechos en clase, parece que si a ${\mathbb R}^2$ le quitamos un conjunto $A$ dado por "una ecuación", el conjunto no es conexo. Así ha sucedido con $A=\{(x,y):x^2+y^2=1\}$, $A=\{(x,y):y=0\}$ o $A=\{(x,y):y-x^2=0\}$. Nos preguntamos si esto es cierto en general, y la respuesta es no.

Para centrar el problema, cogemos $A$ de la forma $A=\{(x,y):f(x,y)=c\}$, donde $f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$ es una aplicación continua. Si tomamos $f(x,y)=x^2+y^2$ y $c=0$, entonces $A=\{(0,0)\}$ y por tanto, ${\mathbb R}^2-A={\mathbb R}^2-\{(0,0)\}$, que es conexo.

¿Podríamos buscar otro ejemplo algo más sofisticado?

Imagen continua de un conjunto no conexo

Sabemos que la imagen de un conjunto conexo mediante una aplicación es continua. Sin  embargo, si el espacio de partida no es conexo, puede ocurrir que sea o no sea conexo. Así, si $(X,\tau)$ es un conjunto no conexo, cualquier aplicación constante (que es continua), lleva el espacio en un punto, que es conexo. Veamos otro ejemplo, sin tomar una aplicación tan 'sencilla'.

Sea la función   $f(x)=x^2$. Tomamos $A=[-1,1]-\{0\}\subset {\mathbb R}$. Este conjunto no es conexo al no ser un intervalo. Su imagen mediante $f$ es $B=f(A)=(0,1]$, que es un intervalo, y por tanto, conexo. Con la misma aplicación, tomamos $A=[-2,-1]\cup [1,2]$, que no es conexo, pero $f(A)=[1,4]$, que sí es conexo.
 

Quitando conjuntos

Hoy ha surgido la duda siguiente: sea $(X,\tau)$ un espacio topológico y  $A,B\subset X$. Si $A\cong B$, ¿$X-  A\cong X-  B$? La respuesta es no.

Podemos buscar ejemplos en espacios euclídeos.

Primero en $X={\mathbb R}$. Tomamos $A=(0,1)$ y $B=(0,\infty)$. Entonces ${\mathbb R}-  A$ no es conexo, pero ${\mathbb R}-  B$ sí lo es.

Segundo, consideramos $X={\mathbb R}^2$. Sean $A=(0,1)\times\{0\}$ y $B={\mathbb R}\times\{0\}$. Entonces $A\cong{\mathbb R}\cong B$. Pero ${\mathbb R}^2-  A\not\cong {\mathbb R}^2-  B$, ya que el primero es conexo y el segundo no.

Otro ejemplo aquí es: $A=B_1(0,0)$ y $B={\mathbb R}\times (0,\infty)$. Ambos son homeomorfos a ${\mathbb R}^2$, pero ${\mathbb R}^2-$ no es conexo y ${\mathbb R}^2-B={\mathbb R}\times(-\infty,0]$ sí lo es.
 

Quitando puntos hasta dejar de ser conexo

Dado un espacio topológico conexo, y vamos quitando puntos, ¿hasta cuándo dejará de ser conexo?
Para concretar un poco el problema, si empezamos con la recta euclídea ${\mathbb R}$, al quitar un punto, no es conexo (por no ser un intervalo). Por tanto, es empezar a quitar puntos, y al momento deja de ser conexo.
Bien diferente es empezar con el plano euclídeo ${\mathbb R}^2$. Ya hemos visto en clase que al quitar un punto, es conexo (es homeomorfo al cilindro). Si quitamos otro más, es decir, ${\mathbb R}^2$, menos dos puntos, también es conexo. Hay un ejercicio en la relación de problemas que dice que al quitar un conjunto numerable, entonces queda conexo.
Es evidente que si quitamos muchos, ya deja de ser conexo, por ejemplo, si quitamos una recta. Pero si vamos quitando uno a uno ¿dejará de ser conexo?