Hoy ha surgido la duda siguiente: sea (X,\tau) un espacio topológico y A,B\subset X. Si A\cong B, ¿X- A\cong X- B? La respuesta es no.
Podemos buscar ejemplos en espacios euclídeos.
Primero en X={\mathbb R}. Tomamos A=(0,1) y B=(0,\infty). Entonces {\mathbb R}- A no es conexo, pero {\mathbb R}- B sí lo es.
Segundo, consideramos X={\mathbb R}^2. Sean A=(0,1)\times\{0\} y B={\mathbb R}\times\{0\}. Entonces A\cong{\mathbb R}\cong B. Pero {\mathbb R}^2- A\not\cong {\mathbb R}^2- B, ya que el primero es conexo y el segundo no.
Otro ejemplo aquí es: A=B_1(0,0) y B={\mathbb R}\times (0,\infty). Ambos son homeomorfos a {\mathbb R}^2, pero {\mathbb R}^2- no es conexo y {\mathbb R}^2-B={\mathbb R}\times(-\infty,0] sí lo es.
Podemos buscar ejemplos en espacios euclídeos.
Primero en X={\mathbb R}. Tomamos A=(0,1) y B=(0,\infty). Entonces {\mathbb R}- A no es conexo, pero {\mathbb R}- B sí lo es.
Segundo, consideramos X={\mathbb R}^2. Sean A=(0,1)\times\{0\} y B={\mathbb R}\times\{0\}. Entonces A\cong{\mathbb R}\cong B. Pero {\mathbb R}^2- A\not\cong {\mathbb R}^2- B, ya que el primero es conexo y el segundo no.
Otro ejemplo aquí es: A=B_1(0,0) y B={\mathbb R}\times (0,\infty). Ambos son homeomorfos a {\mathbb R}^2, pero {\mathbb R}^2- no es conexo y {\mathbb R}^2-B={\mathbb R}\times(-\infty,0] sí lo es.
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