A la vista de muchos ejemplos hechos en clase, parece que si a {\mathbb R}^2 le quitamos un conjunto A dado por "una ecuación", el conjunto no es conexo. Así ha sucedido con A=\{(x,y):x^2+y^2=1\}, A=\{(x,y):y=0\} o A=\{(x,y):y-x^2=0\}. Nos preguntamos si esto es cierto en general, y la respuesta es no.
Para centrar el problema, cogemos A de la forma A=\{(x,y):f(x,y)=c\}, donde f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R} es una aplicación continua. Si tomamos f(x,y)=x^2+y^2 y c=0, entonces A=\{(0,0)\} y por tanto, {\mathbb R}^2-A={\mathbb R}^2-\{(0,0)\}, que es conexo.
¿Podríamos buscar otro ejemplo algo más sofisticado?
Para centrar el problema, cogemos A de la forma A=\{(x,y):f(x,y)=c\}, donde f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R} es una aplicación continua. Si tomamos f(x,y)=x^2+y^2 y c=0, entonces A=\{(0,0)\} y por tanto, {\mathbb R}^2-A={\mathbb R}^2-\{(0,0)\}, que es conexo.
¿Podríamos buscar otro ejemplo algo más sofisticado?
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