Sumando abiertos y sumando cerrados en la recta euclídea

En ${\mathbb R}$, la suma de dos conjuntos abiertos es un abierto, concretamente, si $A,B\in\tau_u$, entonces $$A+B=\{a+b: a\in A,b\in B\}$$ es un abierto puesto que se expresa como unión de abiertos, a saber,
$$A+B=\cup_{a\in A}h_a(B),$$
donde $h_a(x)=x+a$, es decir, es una traslación. Pero sabemos que las traslaciones son homeomorfismos con la topología usual, luego lleva abiertos en abiertos.

 Esta propiedad no sucede con la suma de cerrados. Por ejemplo, si $F_1={\mathbb N}$ es el conjunto de los números naturales y  $F_2=\{-n+1/n:n\in {\mathbb N},n\geq 2\}$, entonces $F_1$ y $F_2$ son cerrados, pero  $F_1+F_2$ contiene a la sucesión  $\{1/n\}$, cuyo límite es $0$, y $0\not\in F_1+F_2$.